Resúmenes

Geometría

Ordenados alfabéticamente por título.
Por modificaciones, comunicarse al correo del Noticiero UMA (uma.noticiero@gmail.com).

A characterization of some Fano fourfolds through conic fibrations

Pedro Montero (Universidad Técnica Federico Santa María, pedro.montero@usm.cl); Eleonora Romano (University of Warsaw, elrom@mimuw.edu.pl)

Let $X$ be a Fano manifold of dimension $n$. A conic bundle on $X$ is a fiber type contraction with fibers of dimension one. In this talk, we will highlight the relation between the relative Picard number of conic bundles on $X$ and the so called Lefschetz defect, introduced by Casagrande and related with the Picard number of divisors on $X$. After giving a general account of the known results, we will address the first unknown case: Fano fourfolds with Lefschetz defect 3. In this case we get general results on the structure of these varieties (bounds on the Picard number of X, rationality and classification of the varieties arising as targets of conic bundles) and some results towards the classification of such fourfolds. This is a joint work with Eleonora Romano (University of Warsaw).

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A remark on Z-orientability of Kleinian groups

Juan Carlos García Navas (Universidad de La Frontera, jcgn70@gmail.com)

The notion of Z-orientability for $2$-cell decompositions of a closed Riemann surface was considered by Zapponi to decide if a given Strebel quadratic form has square roots. He also used this notion in the setting of dessins d'enfants to obtain certain unicellular dessins d'enfants in genus zero (a generalization of Leila's flowers) with the property that such a family is Galois-invariant and it contains at least two Galois orbits. Recently, it has been proved that Z-orientability provides a new Galois invariant for dessins d'enfants.

We show how to extend this notion for general Kleinian groups in any dimension. As an application, this notion is used to provide a necessary and sufficient geometrical condition for a non-constant surjective meromorphic map $\varphi:S \to \widehat{\mathbb C}$, where $S$ is a connected Riemann surface, to admit an square root, that is, a meromorphic map $\psi:S \to \widehat{\mathbb C}$ such that $\varphi=\psi^{2}$. We also extend this idea to obtain a necessary and sufficient geometrical condition for a non-constant surjective meromorphic map $\varphi$ to admit an $n$-root, that is, a meromorphic map $\psi:S \to \widehat{\mathbb C}$ such that $\varphi=\psi^{n}$.

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Acciones birracionales en grupos de Lie compactos clásicos e isomorfismos en bajas dimensiones.

Daniela Beatriz Emmanuele (Fac de Cs Exactas, Ingeniería y Agrimensura - UNR, emman@fceia.unr.edu.ar); Marcos Salvai (FaMAF/CIEM (Universidad Nacional de Córdoba, CONICET), salvai@famaf.unc.edu.ar); Francisco Vittone (Fac de Cs Exactas, Ingeniería y Agrimensura - UNR, vittone@fceia.unr.edu.ar)

Consideremos los grupos de Lie compactos clásicos $M=SO_{n},U_{n}$ y $Sp_{n}$ con sus mé\-tri\-cas Riemannianas bi-invariantes canónicas. En estos grupos actúan $G=O_o\left( n,n\right) ,SU\left( n,n\right) $ y $Sp\left( n,n\right) $ respectivamente. Estas acciones, denominadas birracionales, surgen de identificar $M$ con adecuadas grassmannianas split de espacios isotrópicos maximales. En dimensiones bajas, es bien conocido que existen isomorfismos (salvo cubrimiento) entre $SL_n(\mathbb{R})$ u $O_o(1,n)$ y los grupos $G$. Por otra parte, $SL_{m+1}(\mathbb{R})$ y $O_o(1,m+1)$ actúan en la esfera $S^m$ via la acción proyectiva y conforme respectivamente (cf. [LSW], [Sal]). En este trabajo probaremos que estas acciones son equivalentes, en dimensiones bajas, a las acciones birracionales antes mencionadas.

Bibliografía

[LSW] Lazarte, M.; Salvai, M. and Will, A. Force free projective motions of the sphere. J. Geom. Phys,, 57 (11), 2431 -- 2436, 2007.

[Sa] Salvai, M. Force free conformal motions of the sphere. Diff. Geom. Appl. 16, 285 -- 292, 2002.

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CONNECTIVITY OF THE REAL AND THE BRANCH LOCUS IN MODULI SPACE $\mathcal{M}_{0,[n+1]}$

Atarihuana Ayala, Yasmina Fernanda (Departamento de Matemática y Estadística, Universidad de La Frontera Temuco, Chile)

Let ${\mathcal M}_{0,[n+1]}$ be the moduli space of isomorphisms classes of $(n+1)$-marked spheres, where $n \geq 3$. It is know that ${\mathcal M}_{0,[n+1]}$ has a complex orbifold structure of dimension $n-2$. Moreover, the space ${\mathcal M}_{0,[n+1]}$ admits a natural real structure $\hat{J}$, this being induced by the complex conjugation on the Riemann sphere. The fixed points of $\hat{J}$ are called the real points and these points corresponds to the classes of isomorphisms of marked spheres admitting an anticonformal automorphism. Inside this locus is the real locus ${\mathcal M}_{0,[n+1]}^{\mathbb R}$, consisting of those classes of marked spheres admitting an anticonformal involution. Let us denote by ${\mathcal B}_{0,[n+1]}$ the branch locus of ${\mathcal M}_{0,[n+1]}$ (the isomorphism classes of those $(n+1)$-marked spheres with non-trivial group of conformal automorphisms). It is known that ${\mathcal B}_{0,[4]}={\mathcal M}_{0,[4]}$ (as any collection of four points in the Riemann sphere is invariant by a subgroup of Möbius transformations isomorphic to ${\mathbb Z}_{2}^{2}$) and that ${\mathcal B}_{0,[n+1]} \neq {\mathcal M}_{0,[n+1]}$ for $n \geq 4$.

The main aim of this talk is to observe the following:

  1. ${\mathcal B}_{0,[n+1]}$ is connected if either (i) $n \geq 4$ is even or (ii) if $n \geq 6$ is divisible by $3$. It has exactly two connected components otherwise.

  2. ${\mathcal M}_{0,[n+1]}^{\mathbb R}$ is connected for $n \geq 5$ odd. It is disconnected for $n=2r$ with $r \geq 5$ odd.



This is part of the results obtained for my Ph. D. Thesis under the supervision of R. A. Hidalgo and S. Quispe.

Partially supported by Proyecto Anillo ACT 1415 PIA-CONICYT.

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Circunferencias en $R$-espacios simétricos autoduales

Marcos Salvai (FaMAF-CIEM (Universidad Nacional de Córdoba, Conicet), salvai@famaf.unc.edu.ar)

Un $R$-espacio simétrico es un espacio simétrico compacto que admite un grupo de Lie de difeomorfismos, llamado el grupo grande de transformaciones, que contiene propiamente al grupo de isometrías. Por ejemplo, la esfera admite dos grupos grandes de transformaciones, los de las conformes y los de las proyectivas, respectivamente, y el grupo grande de un espacio simétrico hemitiano es el grupo de sus transformaciones (anti-)holomorfas.

Los espacios $R$-simétricos autoduales tienen curvas especiales, llamadas circunferencias, introducidas por Burstall, Donaldson, Pedit y Pinkall en 2011, cuya definición no involucra la elección de una m étrica riemanniana. Caracterizamos los elementos del grupo grande de transformaciones $G$ de un $R$-espacio simétrico autodual $M$ como los difeomorfismos de $M$ que llevan circunferencias en circunferencias.

Además, a pesar de que estas curvas pertenecen al ámbito de los invariantes por $G$, logramos describirlas en términos geométricos riemannianos: Dada una circunferencia $c$ in $M$, existe un subgrupo compacto maximal $K$ de $G$ tal que $c$, salvo por una transformación proyectiva, es una geodésica diametral en $M$ (o equivalentemente, una geodésica diagonal en un toro llano totalmente geodésico maximal de $ M$), siempre que $M$ tenga la métrica simétrica $K$-invariante can ónica. Incluimos ejemplos para la cuádrica compleja y las grasmannianas split (estándares o isotrópicas).



Marcos Salvai, Circles in self dual symmetric $R$ -spaces, arXiv:1902.01467 [math.DG].

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Espectro del Laplaciano en 3-esferas homogéneas

Emilio Lauret (INMABB, CONICET y Universidad Nacional del Sur, emiliolauret@gmail.com)

El espectro del operador de Laplace--Beltrami en una variedad Riemanniana cerrada es un objeto muy importante en el análisis geométrico. Ha sido muy estudiada su relación con la geometría y la topología de la variedad. En particular, el autovalor positivo más pequeño de este operador, conocido como el tono fundamental, guarda una estrecha relación con la curvatura. Excepto para casos muy especiales (e.g. esferas redondas, toros planos, variedades de Heinsenberg), no existen descripciones explícitas del espectro, e incluso tampoco del primer autovalor no nulo.

Una variedad Riemanniana se dice homogénea si su grupo de isometrías actúa transitivamente. Milnor en 1975 clasificó todas las métricas homogéneas en la esfera tridimensional en términos de tres parámetros. En esta charla daremos una expresión explícita del primer autovalor del Laplaciano en cualquier $3$-esfera homogénea dada en términos de los mencionados parámetros. Veremos también algunas consecuencias de tal expresión, como una prueba alternativa de la no existencia de 3-esferas homogéneas isospectrales no isométricas.

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Estructuras complejas y paracomplejas generalizadas en variedades producto

Edison Alberto FernÁndez-culma (CIEM - FAMAF, efernandez@famaf.unc.edu.ar); Yamile Godoy (CIEM - FAMAF, ygodoy@famaf.unc.edu.ar); Marcos Salvai (CIEM - FAMAF, salvai@famaf.unc.edu.ar)

En 2003 Hitchin introduce las estructuras complejas generalizadas. En una variedad suave, estas interpolan entre estructuras complejas y simplécticas. Dada una variedad producto $(M,r)$ definimos estructuras geométricas generalizadas en $M$, donde cada una de ellas interpola entre dos estructuras geométricas compatibles con $r$ (por ejemplo, entre una estructura producto compleja y una bi-foliación lagrangiana). Calculamos las fibras típicas de los fibrados cuyas secciones suaves son estas nuevas estructuras y damos ejemplos en el caso en que $M$ es un grupo de Lie provisto de una estructura paracompleja invariante a izquierda.

1.5cm

-E. A. Fernández-Culma, Y. Godoy, M. Salvai, Interpolation of geometric structures compatible with a pseudo Riemannian metric. Manuscripta Math. 151, (2016) 453–468.

-E. A. Fernández-Culma, Y. Godoy, M. Salvai, Generalized complex and paracomplex structures on product manifolds. Enviado para su publicación.

-M. Gualtieri, Generalized complex geometry. Ann. Math. (2) 174, (2011) 75–123.

-N. Hitchin, Generalized Calabi-Yau manifolds. Q. J. Math. 54, (2003) 281–308.

-M. Salvai, Generalized geometric structures on complex and symplectic manifolds. Ann. Mat. Pura Appl. 194, (2015) 1505–1525.

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Grupos de holonomía de solvariedades compactas planas

Alejandro Tolcachier (FaMAF-UNC, atolcachier@famaf.unc.edu.ar)

Las solvariedades, es decir, variedades compactas obtenidas como cocientes de grupos de Lie solubles simplemente conexos por retículos (es decir subgrupos discretos), constituyen una clase importante de variedades. Es sabido que algunas de estas solvariedades admiten una métrica riemanniana plana inducida por una métrica riemanniana invariante a izquierda plana en el grupo de Lie asociado. En efecto, Milnor caracterizó los grupos de Lie que admiten una métrica invariante a izquierda plana y probó que su álgebra de Lie se descompone como un producto semidirecto de una subálgebra abeliana y un ideal abeliano, donde la acción es por endomorfismos antisimétricos. Algunos grupos de Lie simplemente conexos de esta clase admiten retículos, por lo que las correspondientes solvariedades admiten una métrica riemanniana plana y constituyen así una clase particular de variedades compactas planas. En particular, una tal solvariedad es isométrica a un cociente compacto de la forma $\mathbb{R}^n/\Gamma$ para cierto subgrupo discreto $\Gamma$ de las isometrías de $\mathbb{R}^n$, y su grupo fundamental es isomorfo a $\Gamma$. Dichos subgrupos fueron caracterizados por los tres teoremas clásicos de Bieberbach y consecuentemente se llaman grupos de Bieberbach. En particular, un grupo de Bieberbach $\Gamma$ admite un único subgrupo normal abeliano maximal $\Lambda$ de índice finito. Más aún, el grupo finito $\Gamma/\Lambda$ se identifica con la holonomía riemanniana de la variedad compacta plana. L. Auslander y M. Auslander probaron que el grupo de holonomía de una solvariedad compacta es abeliano. La charla estará enfocada a probar la recíproca, es decir que todo grupo abeliano finito se realiza como el grupo de holonomía de una solvariedad compacta plana, para lo cual daremos una construcción bien explícita, usando la caracterización de Milnor y un criterio dado por Bock sobre la existencia de retículos en grupos de Lie casi abelianos. También daremos una prueba elemental del resultado de Auslander. Finalmente comentaremos aspectos sobre dimensiones bajas y la dimensión mínima en la que podemos realizar a un grupo abeliano finito como holonomía de una solvariedad plana. Esta charla es parte de los resultados de mi trabajo final de licenciatura, bajo la dirección del Dr. Adrián Andrada.

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Holonomía de la conexión de Bismut en variedades Vaisman

Adrián Andrada (Universidad Nacional de Córdoba - CONICET, andrada@famaf.unc.edu.ar)

Una variedad hermitiana $(M,J,g)$ se dice localmente conforme Kähler (LCK) si alrededor de cada punto de $M$, la métrica $g$ es conforme a una métrica Kähler con respecto a $J$. Equivalentemente, existe una $1$-forma cerrada $\theta$ en $M$ tal que $d\omega=\theta\wedge\omega$, donde $\omega$ denota la $2$-forma fundamental asociada a $(J,g)$, definida por $\omega(\cdot,\cdot)=g(J\cdot,\cdot)$. La $1$-forma $\theta$ se llama la forma de Lee.

Una familia muy importante de variedades LCK está dada por aquellas que tienen su forma de Lee paralela (con respecto a la conexión de Levi-Civita $\nabla^g$). Estas variedades se denominan variedades Vaisman y poseen propiedades topológicas y geométricas especiales, en particular una relación estrecha con la geometría sasakiana.

Por otro lado, toda variedad hermitiana $(M^{2n},J,g)$ admite una única conexión $\nabla^b$ que cumple $\nabla^bJ=0$, $\nabla^bg=0$ y su torsión $T^b$ es totalmente antisimétrica, es decir, $c(X,Y,Z)=g(X,T^b(Y,Z))$ es una $3$-forma en $M$. La conexión $\nabla^b$ es denominada la conexión de Bismut, y posee holonomía contenida en $U(n)$.

En este trabajo probamos que la holonomía de la conexión de Bismut en una variedad Vaisman $(M^{2n},J,g)$ está contenida en $U(n-1)$ para todo $n$, y probamos que es igual a $U(n-1)$ cuando $M^{2n}$ es una variedad de Hopf (difeomorfa a $S^1\times S^{2n-1}$), para $n\geq 3$.

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La energía de la sección compleja normal de la $2$-grassmaniana asociada al producto cruz triple

Ruth Paola Moas (FaMAF-CIEM (Universidad Nacional de Córdoba, Conicet), pmoas@famaf.unc.edu.ar); Marcos Salvai (FaMAF-CIEM (Universidad Nacional de Córdoba, Conicet), salvai@famaf.unc.edu.ar)

Sea $G\left( k,n\right) $ la grassmanniana de los subespacios orientados de dimensión $k$ de $\mathbb{R}^{n}$. Consi\-deramos aplicaciones que asignan a cada $P\in G\left( 2,8\right) $ una estructura compleja ortogonal $J\left( P\right) $ en $P^{\bot }$. Una tal asignación se puede pensar como una secció n del subfibrado esférico unitario $\Pi :E^{1}\rightarrow G\left( 2,8\right) $ del fibrado vectorial riemanniano $E\rightarrow G\left( 2,8\right) $, donde \[ E=\{(P,T)\mid P\in G(2,8)\;\text{ y }\;T\in \text{Skew}_{P}\left( \mathbb{R} ^{8}\right) \} \] con Skew$_{P}\left( \mathbb{R}^{8}\right) =\left\{ T\in \text{End}~\left( \mathbb{R}^{8}\right) \mid \left. T\right\vert _{P}=0\text{ y }T\text{ es antisimétrica}\right\} $, que posee una conexión métrica canó nica $\nabla $ (el producto interno en cada fibra es el usual: $\left\langle S,T \right\rangle =-$ tr $(ST)$).

La funcional combadura total está definida para secciones $\mathfrak{J}$ del fibrado $\Pi :E^{1}\rightarrow G\left( 2,8\right) $ mediante \[ \mathcal{B}\left( \mathfrak{J}\right) =\int_{G\left( 2,8\right) }\left\Vert \nabla \mathfrak{J}\right\Vert ^{2}\text{.} \] Esta funcional mide cómo $\mathfrak{J}$ se aparta de ser paralela y difiere inesencialmente de la funcional ener\-gía $\mathcal{E}$, que se aplica a cualquier mapeo suave de $G\left( 2,8\right) $ en $E^{1}$ (no necesariamente a secciones) y cuyos puntos críticos son las aplicaciones armónicas. Los puntos críticos de $\mathcal{B}$ se denominan secciones verticalmente armónicas.

Sea $\mathbb{O}$ el álgebra normada de los octoniones y sea $X:\mathbb{O} ^{3}\rightarrow \mathbb{O}$ el producto cruz triple. Nuestro trabajo se centra en probar que la sección $\mathfrak{J}$ definida en [2] mediante \[ \mathfrak{J}:G\left( 2,8\right) \rightarrow E^{1}\text{,\  \  \  \  \ } \mathfrak{J}\left( u\wedge v\right) =\left( u\wedge v,J_{u\wedge v}\right) \] es verticalmente armónica, donde $J_{u\wedge v}\left( w\right) =X\left( u,v,w\right) $. Esto generaliza parcialmente, en cierto sentido, resultados conocidos sobre la energía de estructuras casi complejas en la esfera $ S^{6}\cong G\left( 1,7\right) $ para la estructura canónica dada por el producto cruz octoniónico estándar (comparar con [1]).



[ 1] G. Bor, L. Hernández-Lamoneda, M. Salvai, Orthogonal almost-complex structures of minimal energy, Geom. Ded. 127 (2007) 75--85.


[ 2] T. Fei, Stable forms, vector cross products and their applications in geometry, arXiv:1504.02807v2 [math.DG].

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Rationally integrable vector fields and rational multiplicative group actions

Luis Cid (Universidad de Talca, luis.cid.matematicas@gmail.com); Alvaro Liendo (Universidad de Talca, alvaro.liendo@gmail.com)

In this talk we characterize the correspondence between the rational action of the multiplicative group on algebraic varieties and certains derivations that we call rationally integrable via the exponential map,this generalizes the usual description of the regular actions of the multiplicative group on affine varieties in terms of semisimple derivations with integers eigenvalues.

Reference

  1. A. Dubouloz & A. Liendo, On rational additive group actions, International Journal of Mathematics 27 (2016), no. 8, 1650060, 19 pages.
  2. E. G. Koshevoi, Birational representations of multiplicative and additive groups, Sib. Math. J. 8(6) (1967) 1016–1021.

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Resoluciones simultaneas de singularidades , deformaciones y espacios de m-jets

Maximiliano Leyton (Universidad de Talca, Talca, Chile, max.leyton@gmail.com)

El estudio del lugar singular de una variedad algebraica es uno de los temas importantes de la geometría algebraica. Para estudiarlo se utilizan diferentes técnicas, por ejemplo: creación de invariantes combinatorios (topológicos, analíticos, algebraicos, etc..), resolución de singularidades, deformaciones de la estructura algebraica, espacios de m-jets, etc.. En el caso de singularidades aisladas de hipersuperficies complejas de dimensión n, uno de los invariantes combinatorios más importante es el numero de Milnor (El rango del n-ésimo grupo de homología de la fibra de Milnor). Si consideramos una deformación de la hipersuperficie que preserva el numero de Milnor, es natural hacer las siguientes preguntas: ¿el tipo topológico de la deformación se mantiene constante? ¿existe resolución simultanea (incrustada)? ¿se induce una deformación de los espacios de m-jets? etc..En esta charla introduciremos los conceptos básicos y resultados conocidos al respecto. Al final de la charla trataremos algunos resultados recientes obtenidos en colaboración con Mark Spivakovsky (Universidad de Tolouse) y Hussein Mourtada (Universidad Paris Diderot).

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Riemann surfaces and abelian varieties with group action

Sebastián Reyes Carocca (Universidad de La Frontera, sebastian.reyes@ufrontera.cl)

In this talk we shall discuss some recent results concerning compact Riemann surfaces (complex algebraic curves) and abelian varieties (projective complex tori) with group action.

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Sobre el flujo geodésico en grupos de Lie

Gabriela Paola Ovando (Universidad Nacional de Rosario y CONICET, gabriela@fceia.unr.edu.ar)

Los grupos de Lie solubles son usados para estudiar flujos geodésicos completamente integrables. La construccion de primeras integrales en involución puede leerse a partir de la data algebraica. El objetivo es mostrar ejemplos y aplicaciones.

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Sobre la existencia de pares de Gelfand $\mathbf{(N,K)}$ con $\mathbf{N}$ 3-pasos nilpotentes

Andrea Gallo (FaMAF-UNC, andregallo88@gmail.com); Linda Saal (FaMAF-UNC, saal@mate.uncor.edu)

Sea $N$ grupo de Lie nilpotente y $K$ subgrupo de automorfismos de $N$, denotamos al par $(K \ltimes N,K)$ como $(K,N)$.

Benson, Jenkins y Ratcliff probaron que dado $K$ compacto, si $(K,N)$ es un par de Gelfand entonces $N$ es $2$-pasos nilpotente. La pregunta natural que surge (y que todavía no logramos responder) es qué sucede si consideramos $K$ no compacto. Más concretamente, ¿existe un par de Gelfand $(K,N)$ donde $N$ es al menos $3$-pasos nilpotente?

Esta pregunta nos lleva a estudiar el subgrupo de automorfismos de álgebras de Lie nilpotentes, e intentar describir como actúa la representación metapléctica sobre estos. Un caso particular que analizamos es el álgebra de Lie definida por Barberis-Dotti en el ejemplo 14.2.7, en “Harmonic Analysis on Conmmutative Spaces" de J. Wolf; en esta comunicación veremos las dificultades que aparecen estudiando este ejemplo.

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Subvariedades totalmente geodésicas en espacios homogéneos naturalmente reductivos.

Francisco Vittone (Universidad Nacional de Rosario, vittone@fceia.unr.edu.ar)

En este trabajo estudiamos la existencia de subvariedades totalmente geodésicas en espacios homogéneos compactos naturalmente reductivos.

La existencia de superficies totalmente geodésicas en espacios simétricos es bien conocida, y para el caso no compacto, la existencia de una superficie totalmente geodésica hiperbólica es consecuencia del Teorema de Karelevich.

En un espacio homogéneo, la existencia de subvariedades totalmente geodésicas homogéneas de dimensión o co-dimensión igual a uno ha sido ampliamente estudiado, pero poco se sabe en los casos donde la dimensión de la subvariedad varía entre estos dos casos extremos.

El principal resultado que presentaremos consiste en probar que para un espacio homogéneo Riemanniano compacto naturalmente reductivo, siempre existe una subvariedad totalmente geodésica, compacta y no plana, de dimensión 2 o 3, y que es a su vez un espacio homogéneo naturalmente reductivo.

Este es un trabajo conjunto con Antonio J. Di Scala y Carlos Olmos.

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Topología controlada y conjeturas de isomorfismo en K-teoría

Gisela Tartaglia (Depto. Mate. / CMaLP - UNLP - CONICET, gtartaglia@mate.unlp.edu.ar); Eugenia Ellis (IMERL Fac. Ing.- UdelaR, Montevideo, eellis@fing.edu.uy); Emanuel Rodríguez Cirone (Depto. Mate.- FCEyN - UBA, ercirone@dm.uba.ar); Santiago Vega (Depto. Mate. - FCEyN - UBA - IMAS - CONICET , svega@dm.uba.ar)

Sean $R$ un anillo, $G$ un grupo, $\mathcal{F}$ una familia de subgrupos y $E_{\mathcal{F}}G$ el $G$-$CW$-complejo universal con isotropía en $\mathcal{F}$. La conjetura de isomorfismo identifica, mediante un morfismo de ensamble, la $K$-teoría del anillo de grupo $\mathbf{K}(RG)$ con una teoría de homología equivariante evaluada en $E_{\mathcal{F}}G$. Una construcción de esta teoría de homología se puede hacer utilizando topología controlada. En este contexto la conjetura afirma que el morfismo de ensamble \[ \partial_{\mathcal{F}_n}: K_{n+1}(\mathcal{D}^G(E_{\mathcal{F}}G))\to K_n(RG)\] es un isomorfismo. Para $\mathcal{F}=\mathcal{V}cyc$ la familia de subgrupos virtualmente cíclicos, la conjetura se conoce como conjetura de Farrell-Jones y ha sido probada para una gran clase de grupos.

En este trabajo consideramos los casos en que $G=\langle t\rangle$ es el grupo cíclico infinito y $\mathcal{F}$ es la familia trivial, y $G=D_{\infty}$ es el grupo diedral infinito con la familia de subgrupos finitos. En ambos casos $\mathbb{R}$ es un modelo para $E_{\mathcal{F}}G$ y su métrica nos permite dar una noción de tamaño a los morfismos de $RG$-módulos. Mostraremos cómo utilizar técnicas de control para analizar la suryectividad del morfismo de ensamble $\partial_{\mathcal{F}_1}$. En el caso en que $G=\langle t\rangle$ el morfismo de ensamble se identifica con el morfismo de Bass-Heller-Swan \[ K_0(R)\oplus K_1(R)\to K_1(R[t^{-1},t]),\] que resulta un isomorfismo para R regular.

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Una caracterización combinatoria de las cofibraciones de Hurewicz entre espacios topológicos finitos

Miguel Ottina (Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad Nacional de Cuyo, mottina@fcen.uncu.edu.ar); Nicolás Cianci (Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad Nacional de Cuyo, nicocian@gmail.com)

En esta charla presentaré una caracterización puramente combinatoria de las cofibraciones de Hurewicz entre espacios topológicos finitos, es decir, de las funciones continuas entre espacios topológicos finitos que tienen la propiedad de extensión de homotopía con respecto a todos los espacios topológicos. Además, mostraré dos algoritmos simples y muy eficientes para determinar si una función continua entre espacios topológicos finitos es o no una cofibración.

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Una nueva herramienta para el estudio de espacios topológicos finitos

Ana Gargantini (Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad Nacional de Cuyo, anagargantini@gmail.com); Miguel Ottina (Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad Nacional de Cuyo, mottina@fcen.uncu.edu.ar)

En este trabajo desarrollamos una novedosa construcción que a cada espacio topológico finito le asocia un nuevo espacio finito que tiene por elementos a algunos de los subespacios del espacio original, y que a cada función continua entre espacios finitos le asigna una función continua entre los espacios asociados correspondientes. Esta construcción fue desarrollada en principio para estudiar la propiedad del punto fijo en espacios topológicos finitos, pero presenta muchas propiedades que la hacen interesante en sí misma. En esta charla contaré algunas de estas propiedades, entre ellas que la construcción resulta un endofuntor en la categoría homotópica de espacios topológicos finitos y que bajo condiciones específicas el espacio asociado resulta débilmente equivalente al espacio original.

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Variedades que admiten una métrica con co-índice de simetría 4

Silvio Reggiani (CONICET y Universidad Nacional de Rosario , reggiani@fceia.unr.edu.ar)

El índice de simetría de un espacio riemanniano homogéneo es un invariante geométrico que mide qué tan lejos está el espacio de ser un espacio simétrico. Un problema importante relacionado con este invariante concierne la clasificación de los espacios homogéneos de acuerdo a su co-índice de simetría. Dicha clasificación es conocida sólo hasta el co-índice 3 y un hecho notable que se desprende de la misma es que, en cada dimensión, todas las métricas con co-índice menor o igual que 3 ocurren en la misma variedad diferencible. Sigue de un resultado general, probado en un trabajo previo, que un espacio homogéneo compacto con co-índice de simetría 4 admite un grupo transitivo, semisimple de dimensión a lo sumo 10. En el presente trabajo determinamos exactamente cuáles de estos espacios admiten efectivamente una métrica con co-índice 4. Encontramos que hay varios espacios no difeomorfos con co-índice de simetría 4 para los cuales damos, usando construcciones más generales, ejemplos explícitos de dichas métricas.

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UMA SOMACHI
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