UMA 2022
Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina
El problema del Muestreo Dinámico consiste en recuperar una señal que evoluciona con el tiempo a partir de sus muestras tomadas en diferentes momentos de su evolución temporal. Se supone que las muestras espaciales registradas en cada instante de tiempo son insuficientes para recuperar la señal por lo que se requieren varias instancias temporales de muestro espacial. A diferencia del problema clásico del muestreo donde se busca la reconstrucción a partir de muestras espaciales en un instante de tiempo fijo, aquí se plantea la reconstrucción de la señal a partir de muestras espacio-temporales. Si suponemos que la señal que se quiere reconstruir está en cierto espacio de Hilbert $\mathcal{H}$, este problema se puede formular como: encontrar condiciones necesarias y suficientes para que una colección de la forma $\{T^{n}f_{i}: i\in I, n=0,...,\ell_{i}\}$ sea un frame de $\mathcal{H}$, para ciertos vectores $\{f_{i}:i\in I\}$ y cierto operador $T$. Estos frames generados al tomar las órbitas de un operador actuando en un conjunto de vectores ha sido un tema de estudio en los últimos años debido a sus aplicaciones al muestreo dinámico. En este trabajo consideramos dos operadores acotados $T$ y $L$ que conmutan entre sí actuando en algún espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ y caracterizamos las familias de la forma $\{T^{k} L^{j} \phi: k\in \mathbb{Z}, j \in J, \phi\in \Phi\}$ que generan un marco del espacio $\mathcal{H}$. La caracterización obtenida está dada en términos de subespacios modelos del espacio de funciones medibles de cuadrado integrable definidas en el círculo unitario y que toman valores en algún espacio de Hardy con multiplicidad. Los operadores que actúan en estos modelos son el shift bilateral y la compresión del shift unilateral (actuando puntualmente). Este contexto incluye el caso cuando $\mathcal{H}$ es un subespacio de $L^{2}(\mathbb{R})$ invariante por traslaciones enteras, $T$ es la traslación por $1$ y $L$ es un operador que conmuta con las traslaciones. El trabajo anterior nos motivó a encontrar una descripción de los subespacios que son invariantes por el shift unilateral (actuando puntalmente) y a su vez reducen al operador shift bilateral. Las condiciones obtenidas son del tipo de los teorema sobre subespacios invariantes de Beurling-Lax-Halmos.
Trabajo en conjunto con: Carlos Cabrelli (Universidad de Buenos Aires, IMAS-CONICET), Diana Carbajal (Universidad de Buenos Aires, IMAS-CONICET) y Victoria Paternostro (Universidad de Buenos Aires, IMAS-CONICET).
Dado un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$, consideremos dos operadores acotados y autoadjuntos $A:\mathcal{H}\to\mathcal{H}$ y $B:\mathcal{H}\to\mathcal{H}$. Considerando el haz \[ P(\lambda)=A+\lambda B,\quad\quad\lambda\in\mathbb{R}, \] nos interesa analizar las condiciones necesarias y suficientes para que los conjuntos \[ I_\geq(A,B)=\big\{\rho\in\mathbb{R}\,:\,A+\rho B\quad\text{es semidefinido positivo}\big\}, \] \[ I_ > (A,B)=\big\{\rho\in\mathbb{R}\,:\,A+\rho B\quad\text{es definido positivo}\big\}, \] sean no vacíos, y las características de $P(\lambda)$ cuando $\lambda$ toma valores en éstos.
El conjunto $I_\geq(A,B)$ resulta ser un intervalo $[\lambda_-,\lambda_+]$, y en el caso en que $I_ > (A,B)$ es no vacío mostraremos que este último resulta ser el intervalo abierto $(\lambda_-,\lambda_+)$. Analizaremos las características del núcleo y del rango de los operadores de la forma $A+\lambda B$ a medida que el parámetro $\lambda$ se mueve a lo largo de este intervalo, y mostraremos que muchas propiedades se mantienen invariantes.
Trabajo en conjunto con: Francisco Martínez Pería (Instituto Argentino de Matemática “Alberto P. Calderón”, Argentina; CMaLP, Argentina) y Alejandra Maestripieri (Instituto Argentino de Matemática “Alberto P. Calderón”, Argentina; FIUBA, Argentina).
El estudio del conjunto de operadores (lineales, multilineales) entre espacios de Banach que alcanzan su norma, está íntimamente ligado a la geometría de los espacios subyacentes. Un resultado clásico dentro del estudio de funcionales que alcanzan su norma es el conocido teorema de Bishop-Phelps-Bollobás [1] que, en líneas generales (sin entrar en detalles técnicos), afirma que si $x^* \in S_{X^*}$ "casi" alcanza su norma en $x\in S_X$, entonces existen $y \in S_{X^*}$ e $y\in S_X$ tales que $y^*$ alcanza su norma en $y$ con $y$ "cerca" de $x$ y con $y^*$ "cerca" de $x^*$. Recientemente, en [2, 3, 4, 5], se estudiaron propiedades ligeramente distintas a la del teorema de Bishop-Phelps-Bollobás que caracterizan algunas propiedades geométricas de los espacios de Banach: la convexidad uniforme, la suavidad uniforme y la subdiferenciabilidad. Estas propiedades del tipo Bishop-Phelps-Bollobás fueron introducidas y estudiadas en el contexto de operadores lineales y bilineales a valores vectoriales. Siguiendo esta misma línea, junto con Dantas, Jung y Rodríguez hemos abordado el estudio de propiedades del tipo Bishop-Phelps-Bollobás polinomiales y su relación con propiedades geométricas de los espacios de polinomios homogéneos y de sus preduales, los espacios de tensores simétricos proyectivos. En esta charla mostraremos algunos de los avances obtenidos en esta dirección.
Trabajo en conjunto con: Sheldon Dantas (Universitat Jaume I, España), Mingu Jung (Korea Institute for Advanced Study, República de Korea) y Jorge Tomás Rodríguez (Universidad Nacional del Centro, Argentina).
Referencias
[1] Bollobás B., An extension to the theorem of Bishop and Phelps, Bull. London Math. Soc. 2, (1970), 181-182.
[2] Dantas S., Kim S. K. and Lee H. J., The Bishop-Phelps-Bollobás point property, J. Math. Anal. Appl., 444, 1739-1751, 2016.
[3] Dantas S., Kim S. K., Lee H. J. and Mazzitelli M., Local Bishop-Phelps-Bollobás properties, J. Math. Anal. Appl., 468 (1), 304-323, 2018.
[4] Dantas S., Kim S. K., Lee H. J. and Mazzitelli M., Strong subdifferentiability and local Bishop-Phelps-Bollobás properties, Rev. R. Acad. Cienc. Exactas Fís. Nat. Ser. A Mat., 114, 1-16, 2020.
[5] Kim S. K. and Lee H. J., Uniform convexity and the Bishop-Phelps-Bollobás property, Canad. J. Math., 66, 373-386, 2014.
La celebrada desigualdad de Cauchy-Schwarz en un espacio de Hilbert real o complejo $(\mathcal{H}, \langle ., .\rangle)$ es \begin{equation}\label{CS} |\langle x, y\rangle|\leq \|x\| \|y\|,\text{ para todo } x, y \in \mathcal{H} \end{equation} En [1], María Luisa Buzano dió la siguiente extensión de (1) \begin{equation}\label{buzano} |\langle x, z\rangle \langle z, y\rangle|\leq \frac12(|\langle x, y\rangle|+\|x\| \|y\| )\|z\|^2, \end{equation} para todo $x,y, z\in \mathcal{H}.$
La demostración original de (2) era bastante compleja, pero Fuji y Kubo en [2] dieron una prueba mucho más sencilla, utilizando una proyección ortogonal a un subespacio de $\mathcal{H}$ y (1).
Nuestro objetivo es obtener generalizaciones de la desigualdad de Buzano para ciertas familias de operadores lineales y acotados de $\mathcal{H}$, así como también hallar distintos refinamientos de desigualdades relacionadas con la norma y el radio numérico de operadores.
Trabajo en conjunto con: Cristian Conde (Universidad Nacional de General Sarmiento, Argentina).
Referencias
[1] M. L. Buzano, Generalizzazione della diseguaglianza di Cauchy-Schwarz (Italian), Rend. Sem. Mat. Univ. e Politech. Torino \textbf{31} (1974), 405-409.
[2] M. Fujii and F. Kubo, Buzano's inequality and bounds for roots of algebraic equations, Proc. Amer. Math. Soc. \textbf{117} (1993), no. 2, 359--361.
El objetivo de esta charla es presentar algunos resultados nuevos (y otros no tan nuevos) referidos a los cambios que sufre la forma canónica de Kronecker asociada a un haz de matrices dado cuando éste es perturbado (aditivamente) con otro haz de rango uno.
Trabajo en conjunto con: Leslie Leben (TU Ilmenau, Alemania), Friedrich Philipp (TU Ilmenau, Alemania), Carsten Trunk (TU Ilmenau, Alemania) y Henrik Winkler (TU Ilmenau, Alemania).
Dada una matriz $A\in \mathbb C^{m\times n}$ se busca hallar una matriz $\hat A$ tal que rank$(\hat A)\leq h$ ($1\leq h < < \min\{m,\,n\}$) y que el error en la aproximación $\|A- \hat A\|$ sea lo más chico posible. Si $A=U\Sigma V^*$ es una descomposición en valores singulares (DVS) sea $\Sigma_h$ la matriz que se obtiene de $\Sigma$ modificando las entradas diagonales $(\Sigma_h)_{jj}=0$, $h+1\leq j\leq \min\{m,n\}$. Entonces $A_h=U\Sigma_h V^*$ es una matriz tal que rank$(\hat A)\leq h$ y tal que $\|A-A_h\|\leq \|A-B\|$, para toda matriz $B$ tal que rank$(B)\leq h$. Si bien $A_h$ es una solución óptima al problema planteado, la complejidad del cálculo de una DVS - cuando $\min\{m,n\}$ es muy grande - induce a considerar otras soluciones computacionalmente menos complejas.
Un método popular para el cálculo de aproximaciones de $A$ por matrices de rango bajo es el llamado método del subpesacio iterativo (MSI): comenzando con una matriz $X\in \mathbb C^{n\times t}$ (para $h\leq t < < \min\{m,n\}$) que satisface ciertas propiedades de compatibilidad con $A$, se calculan iterativamente las matrices $A^qX$, $q\geq 1$. Si las columnas de $Q\in \mathbb C^{n\times s}$ forman una base ortonormal del rango de $A^qX$ entonces el MSI calcula la aproximación óptima $(Q^*A^qX)_h$ de $Q^*A^qX\in \mathbb C^{s\times t}$ y propone como aproximación de $A$ a la matriz $Q(Q^*A^qX)_h$.
Los análisis de convergencia del MSI (en funci\'on de $q\geq 0$) en el contexto determinístico se obtienen típicamente bajo la hipótesis $\sigma_h > \sigma_{h+1}$, donde $\sigma_1\geq \ldots\sigma_p\geq 0$ denotan los valores singulares de $A$ y $p=\min\{m,n\}$. En esta charla des\-cri\-bimos un enfoque diferente para el análisis de convergencia en el contexto determinístico, en donde no se requiere el salto $\sigma_h > \sigma_{h+1}$ en el índice $h$, sino que se aprovechan saltos existentes de los valores singulares de $A$ en índices próximos a $h$.
Es bien sabido que los sistemas de Haar (o sistemas de Chebyshev) juegan un papel importante en análisis, así como en probabilidad y estadística. Sin embargo, los sistemas débiles de Chebyshev son formas más débiles de sistemas de Haar, capaces de abarcar splines. Las clases de funciones splines poseen muy buenas propiedades estructurales y de aproximación, y además, tienen un gran número de aplicaciones en la solución numérica de diversos problemas de matemática aplicada. El objetivo principal de esta charla es dar un teorema de caracterización de unicidad fuerte en mejor aproximación simultánea a infinitas funciones, definidas sobre un espacio compacto de Hausdorff, desde un espacio lineal de dimensión finita. También mostraremos un teorema de alternancia para las mejores aproximaciones simultáneas de Chebyshev a infinitas funciones, definidas sobre conjuntos compactos en $\mathbb{R}$, desde un espacio débil de Chebyshev. Este trabajo amplía otros previos en dos direcciones. Por un lado, extendemos resultados de mejor aproximación a mejor aproximación simultánea, y por otro, resultados conocidos acerca de sistemas débiles de Chebyshev sobre intervalos compactos se extienden a cualquier conjunto compacto de la recta real.
Este trabajo está parcialmente subvencionado por Universidad Nacional de Río Cuarto (Grant PPI 18/C559), Universidad Nacional de La Pampa, Facultad de Ingeniería (Grant Resol. Nro. 165/18) y CONICET (Grant PIP 112-202001-00694CO)
Trabajo en conjunto con: Fabián E. Levis (UNRC, CONICET, FCEFQyN) y Claudia V. Ridolfi (UNSL, CONICET, IMASL).
En los años ‘30, los trabajos de Bochner, Marcinkiewicz, Paley y Zygmund dieron inicio al estudio de desigualdades vectoriales para operadores lineales. Se destacan, en este contexto, las llamadas desigualdades de Marcinkiewicz-Zygmund para operadores lineales entre espacios $L^p$. Concretamente, dados $1\leq p,q,r \leq \infty$, se dice que $(p,q,r)$ satisface una desigualdad de Marcinkiewicz-Zygmund si existe una constante $C\geq 1$ tal que para cada operador lineal acotado $T:L^q(\mu)\longrightarrow L^p(\nu)$, cada $n\in \mathbb{N}$ y cada sucesión de funciones $f_1,\ldots,f_n\in L^q(\mu)$, se verifica \[ \left\| \left(\sum_{k=1}^n |T(f_k)|^r\right)^{1/r} \right\|_{L^p(\nu)} \leq C \|T\| \left\| \left(\sum{k=1}^n |f_k|^r\right)^{1/r} \right\|_{L^q(\mu)}. \] En [2,4], los autores abordaron un estudio sistemático de este tipo de desigualdades logrando determinar el conjunto de $3$-uplas $(p,q,r)$ que satisfacen (1). En los últimos años, los llamados espacios de Lebesgue con exponente variable han cobrado gran interés debido a sus aplicaciones en el modelado de fluidos y el procesamiento de imágenes (ver [1,3]). En esta charla discutiremos la extensión de las desigualdades de Marcinkiewicz-Zygmund en el contexto de operadores definidos en estos espacios.
Trabajo en conjunto con: Daniel Carando (IMAS-Universidad de Buenos Aires, CONICET) y Martín Mazzitelli (Instituto Balseiro-UNCuyo).
Referencias
[1] Cruz-Uribe D., Fiorenza A.. Variable Lebesgue spaces: Foundations and Harmonic Analysis. Birkhäuser, Spinger, Basel, 2013.
[2] Defant A. and Junge M.. Best constants and asymptotics of Marcinkiewicz-Zygmund inequalities. Studia Math. , 125(3): 271--287, 1997.
[3] Diening L., Harjulehto P., Peter Hästö P. and Růžička M.. Lebesgue and Sobolev spaces with variable exponents. Springer. 29-3-2011.
[4] Gasch J. and Maligranda L.. On vector-valued inequalities of Marcinkiewicz-Zygmund, Herz and Krivine type. Math. Nachr., 167: 95--129, 1994.
En esta charla mostraremos que, contrario al comportamiento de las transformadas de Riesz de orden superior hasta ahora estudiadas sobre el espacio de Hardy atómico $H^1(\mathbb{R}^n, \gamma_n)$, asociadas al operador de Ornstein-Uhlenbeck respecto de la medida gaussiana $\gamma_n$, las transformadas de Riesz nuevas en este contexto son acotadas de $H^1(\mathbb{R}^n, \gamma_n)$ en $L^1(\mathbb{R}^n, \gamma_n)$ cualquiera sea su orden y la dimensión $n$.
Trabajo en conjunto con: Fabio Berra (CONICET-Facultad de Ingeniería Química (UNL), Argentina) y Roberto Scotto (Facultad de Ingeniería Química (UNL), Argentina).
Dado un operador $S$, estudiamos condiciones sobre los pesos $u$ y $v$ para que valga la siguiente desigualdad mixta \[uv\left(\left\{x\in\mathbb{R}^d: \frac{|S(fv)(x)|}{v(x)} > t\right\}\right)\leq \frac{C}{t}\int_{\mathbb{R}^d}|f(x)|u(x)v(x)dx,\] t > 0. En esta oportunidad comentaremos algunos resultados obtenidos cuando $S$ es un operador de tipo maximal o de tipo integral singular asociado a una función de radio crítico. Estos resultados pueden aplicarse para obtener desigualdades mixtas para integrales singulares asociadas a un operador de Schr\"odinger.
Trabajo en conjunto con: Fabio Berra (FIQ - UNL) y Gladis Pradolini (FIQ - UNL).
En este trabajo se prueban desigualdades mixtas para operadores que posean una dominación sparse bilineal generalizando los resultados probados en [1]. Además, se estudian las desigualdades mixtas para conmutadores con símbolo multilineal.
Estos resultados se pueden aplicar, por ejemplo, a operadores de Calderón-Zygmund y a operadores cuyo núcleo cumple una condición de regularidad de tipo Hörmander generalizada.
Además de obtener resultados en el contexto euclidiano, también se prueban los resultados en espacios de tipo homogéneo.
Trabajo en conjunto con: Israel P. Rivera-Ríos (Universidad de Málaga, España).
Referencias
[1] Caldarelli, M., Rivera-Ríos, I.P. A sparse approach to mixed weak type inequalities. Math. Z. 296 (2020), 787-812.
Sean $\Omega$ un conjunto medible y acotado de $\mathbb{R}^n$, $1 \le p < \infty$ y $f\in L^{p-1} (\Omega)$. Es bien conocido que existe al menos un polinomio $E_p(f) \in \Pi^m$, llamado un mejor $L^p$-aproximante extendido a $f$ desde $\Pi^m$, tal que \[ \left|\int_{\Omega} |f-E_p(f)|^{p-1}\text{sgn}(f-E_p(f)) Q \right| \le \delta_{p,1} \int_{\{f=E_p(f)\}} |Q| \quad \text{para todo} \quad Q\in \Pi^m, \] donde $\delta_{p,1}$ es la función delta de Kronecker. En particular, si $f \in L^{p} (\Omega)$, $E_p(f)$ coincide con el mejor $L^p$-aproximante a $f$ desde $\Pi^m$. En un breve artículo publicado en Proc. Amer. Math. Soc, Brown y Lucier [1] demostraron que cualquier $L^1$-aproximante extendido a $f$ desde $\Pi^m$ es casi-mejor $L^q$-aproximante a $f$ desde $\Pi^m$ para $0 < q < 1$, es decir, existe $\rho > 0$ tal que \[ \|f-E_1(f)\|_{L^q(\Omega)} \le (1+\rho) \inf_{Q \in \Pi^m} \|f-Q\|_{L^q(\Omega)}. \] Es natural preguntarse si este resultado tiene una contraparte en los espacios $L^{p}(\Omega)$ para $p > 1$. En este trabajo mostramos que esta pregunta tiene una respuesta afirmativa. Por otro lado, la demostración de Brown y Lucier implica argumentos complejos y poco intuitivos. También proveemos un resultado alternativo para el caso $p = 1$, con una prueba más simple y directa.
Trabajo en conjunto con: Favian Levis (UNRC, CONICET, FCEFQyN).
Referencias
[1] L.G. Brown, B.J. Lucier, Best Approximations in $L^1$ are Near Best in $L^p$, $p<1$. Proc. Amer. Math. Soc. 20(1) (1994) 97-100.
El $k$-árbol infinito con raíz $T_k$ ($k\geq 2$), junto con la medida de contar $\mu$ y la distancia usual de árbol $d$, es un ejemplo interesante de un espacio métrico con medida en el cual vale la desigualdad de tipo $(1,1)$-débil para el operador maximal centrado $M$, a pesar de la ausencia total de duplicación en la medida $\mu$ (véase [1]). Si consideramos un peso no negativo $w$, en [2] se probó que para cualquier $s > 1$ \[ \Vert Mf\Vert_{L^{1,\infty}(w)} \leq c_s \Vert f \Vert_{L^1(M_s(w))}, \] donde $M_s(w)=M(w^s)^{1/s}$ .
En esta charla veremos que este resultado se puede generalizar tanto para el operador maximal multilineal introducido en [3], como para el producto tensorial de maximales, y discutiremos brevemente algunos problemas abiertos.
Trabajo en conjunto con: Sheldy J. Ombrosi (Universidad Nacional del Sur,Argentina).
Referencias
[1] A. Naor and T. Tao. Random martingales and localization of maximal inequalities. J. Func. Anal, 259(3):731-779, 2010
[2] Sheldy Ombrosi, Israel P. Rivera-Ríos, and Martín D. Safe. Fefferman-Stein inequalities for the Hardy-Littlewood maximal function on the infinite rooted k-ary tree. Int. Math. Res. Not. IMRN, (4):2736–2762, 2021.
[3] A. Lerner, S. Ombrosi, C. Pérez, R. H. Torres y R. Trujillo-González, New maximal functions and multiple weights for the multilinear Calderón-Zygmund theory, Adv. Math., 220, no. 4, 1222-1264, 2009
Describiremos cómo usar el método de interpolación real para caracterizar el interpolado entre un espacio $L^p$ con peso y un espacio de Sobolev con peso en dominios acotados arbitrarios de $\mathbb{R}^n$, con pesos que son potencias positivas de la distancia al borde. Comentaremos también algunos resultados relacionados.
Trabajo en conjunto con: Gabriel Acosta (IMAS y UBA, Argentina) y Ricardo G. Durán (IMAS y UBA, Argentina).
Referencias
[1] G. Acosta, I. Drelichman, R.G. Durán. Weighted fractional Sobolev spaces as interpolation spaces in bounded domains. https://doi.org/10.48550/arXiv.2112.03416
Dado un abierto acotado $\Omega\subset{\mathbb R}^n$ consideramos, para $k\ge 2$ y $1\le p\le\infty$, el espacio de Sobolev $W^{k,p}(\Omega)$ de funciones tales que ella junto con todas sus derivadas de orden menor o igual que $k$ pertenecen a $L^p(\Omega)$.
Es un resultado conocido que bajo ciertas hipótesis sobre $\Omega$, por ejemplo que sea un dominio Lipschitz, se obtiene una norma equivalente a la usual quedándonos sólo con las normas en $L^p(\Omega)$ de la función y sus derivadas de mayor orden. Es decir, existe una constante $C$ que depende sólo de $\Omega$ y de $k$ tal que $\forall u\in W^{k,p}(\Omega)$, $$ (1) \qquad \|D^\beta u\|_p\le C \left\{\|u\|_p + \sum_{|\alpha|=k}\|D^\alpha u\|_p\right\} \quad \forall |\beta|\le k $$ En esta charla mostramos que este resultado vale en una clase muy general de dominios: aquellos para los cuales vale la desigualdad de Poincaré.
Un resultado más difícil de demostrar, y que requiere hipótesis más fuertes sobre el dominio, es que nos podemos quedar sólo con derivadas puras. Por ejemplo, para $k=2$ y $n=2$, $$ (2) \qquad \left\|\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}\right\|_p \le C \left\{ \|u\|_p +\left\|\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right\|_p +\left\|\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right\|_p \right\} $$ Demostramos que, para $1 < p < \infty$, $(2)$ vale para los dominios de John, una clase muy general que incluye a los Lipschitz. Mostramos un ejemplo simple de dominio en el cual el resultado es falso aunque sí vale (1).
Mostramos también que vale la extensión de $(2)$ al caso general $n\ge 2$ y $k\ge 2$ cuando el dominio es Lipschitz.
También mostramos que todos estos resultados son válidos para espacios de Sobolev con pesos en la clase $A_p$.
Trabajo en conjunto con: Irene Drelichman (Universidad Nacional de La Plata y CONICET, Argentina.
Dado un dominio acotado $\Omega$ y una función $f$ de promedio nulo en $\Omega$ obtenemos una descomposición $\{f_t\}_{t\in\Gamma}$, donde cada $f_t$ tiene promedio nulo y soporte $U_t$ y el conjunto de índices $\Gamma$ admite una estructura de árbol. Los conjuntos $U_t$ son dominios simples (e.g.: bolas, cubos, rectángulos). Probamos también una estimación de la suma de las normas (con peso) de las $g_t$ en términos de la norma (con peso) de $g$. Para ello utilizamos una desigualdad de tipo Hardy, discreta, con pesos y sobre árboles, para cuya validez obtenemos una condición suficiente dependiente de los pesos. Esta descomposición permite generalizar a dominios complejos resultados cuya validez es conocida sobre los dominios simples $U_t$.
Aplicamos esta técnica a dominios con frontera Hölder$-\alpha$ y a dominios de John, obteniendo como consecuencias: existencia de una inversa a derecha para el operador divergencia con su correspondiente estimación a priori, desigualdades de Poicaré mejorada y fraccionaria, desigualdad de Korn y una versión local de la desiguadad de Fefferman-Stein. En todos los casos trabajamos en espacios de Sóbolev con pesos de la forma $d(\cdot,\partial\Omega)^{\beta p}$.
Las singularidades que puede presentar la frontera de un dominio Hölder$-\alpha$ hacen que las desigualdades estudiadas requieran de un corrimiento en los exponentes. Nuestros resultados son válidos con la restricción: \[\beta p > -\alpha,\] lo que amplía el rango de exponentes previamente conocidos en la literatura.
El el caso de dominios de John, nuestros resultados son válidos para: \[\beta p > -(n-\dim_A(\partial\Omega)),\] donde $\dim_A(\partial\Omega)$ es la dimensión de Assouad del borde del dominio. Nuevamente, esta condición amplía el rango de pesos previamente conocido. Conjeturamos que en ambos casos las restricciones son óptimas.
Trabajo en conjunto con: Fernando López García, Cal Poly Pomona, California, Estados Unidos..
Referencias
[1] López-García, F., Ojea, I.; Weighted discrete Hardy inequalities on trees and applications, Potential Analysis, (2022) 10.1007/s11118-021-09982-5
[2] López-García, F., Ojea, I.; Some inequalities on weighted Sobolev spaces, distance weights and the Assouad dimension. En preparación.
Consideremos el operador de Schrödinger bi-armónico en $\mathbb{R}^d$, con $d\ge 5$, \[\mathcal{L}=(-\Delta)^2+V^2,\] donde el potencial $V$ es no negativo y no identicamente cero.
Las potencias negativas de este operador pueden ser expresadas en términos del semigrupo del calor generado por $\mathcal{L}$ de la siguiente forma \[\mathcal{L}^{-\alpha/4}f(x) = \int_0^{\infty} e^{-t\mathcal{L}} f(x) \, t^{\alpha/4} \frac{dt}{t}, \ \ \ \alpha > 0.\]
Para cada $t > 0$, el operador $e^{-t\mathcal{L}}$ es un operador integral con núcleo $K_t$.
Logramos resultados de suavidad del núcleo $K_t$ análogos a los encontrados en $[1]$ para el núcleo del calor asociado al operador de Schrödinger. A partir de estas estimaciones pudimos demostrar el siguiente resultado, siguiendo los lineamientos dados en $[2]$ para este nuevo operador.
Teorema: Sea $V$ un potencial en la clase $RH_q$ con $q\geq d/2$ y sea $\delta_0=\min\{1,2-\frac{d}{q}\}$. Sean $0 < \alpha < d$, $\frac{d}{\alpha}\leq p < \frac{d}{(\alpha-\delta_0)^+}$ y $w\in RH_{p'}\cap D_{\eta}$, donde $1\leq\eta < 1-\frac{\alpha}{d} + \frac{\delta_0}{d} + \frac{1}{p}$. Entonces, el operador $\mathcal{L}^{-\alpha/4}$ es acotado de $L^{p,\infty}(w)$ en $BMO_{\mathcal{L}}^{\alpha-d/p}(w).$
Trabajo en conjunto con: Bruno Bongioanni (Universidad Nacional del Litoral, Argentina) y Marisa Toschi (Universidad Nacional del Litoral, Argentina).
Referencias
[1] Jacek Dziubanski; Jacek Zienkiewicz. H^p spaces for Schrödinger operators. Fourier analysis and related topics (Bedlewo, 2000), 45--53, Banach Center Publ., 56, Polish Acad. Sci. Inst. Math., Warsaw, 2002.
[2] Bruno Bongioanni; Eleonor Harboure; Oscar Salinas. Weighted inequalities for negative powers of Schrödinger operators. J. Math. Anal. Appl. 348 (2008), no. 1, 12--27.
En $\mathbb{R}^d$, con $d\geq 3$, sea el operador de Schrödinger $L_V \doteq -\Delta + V$, donde $V:\mathbb{R}^d \rightarrow [0,\infty)$ satisface una condición de Reverse Hölder RH$_{d/2}$. Se define, para $0 < \alpha\leq 2$, el potencial de Riesz asociado como $I^\alpha_V \doteq L_V^{-\alpha/2}$. En este trabajo, estudiamos dicho operador a través de la expresión integral que el cálculo funcional y la teoría de semigrupos arrojan como \[ I^\alpha_V f(x) = \int_{\mathbb{R}^d} K_{V,\alpha}(x,y)\,f(y)\,dy\,,\] para $f \in L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R}^d)$ y $x \in \mathbb{R}^d$, donde $K_{V,\alpha}$ es el núcleo del operador, del cual son conocidas algunas estimaciones.
Probamos estimaciones con dos pesos para $I^\alpha_V$ extendiendo los resultados vistos en $[1]$. Más precisamente, para $1 < p \leq q < \infty$, definimos una clase de pares de pesos $(u,v)$ para las cuales se cumple la acotación $L^p(v)-L^q(u)$ del operador. Esta clase se define considerando promedios Orliczs de los pesos, extendiendo en cierto sentido la clase definida en $[1]$. En la prueba se toman ideas vistas en $[2]$ sobre operadores de tipo Sparse.
Trabajo en conjunto con: Oscar Salinas (IMAL (UNL-CONICET); FIQ (UNL), Marisa Toschi (IMAL (UNL-CONICET); FHUC (UNL) y Beatriz Viviani (IMAL (UNL-CONICET); FIQ (UNL).
Referencias
[1] Julian Bailey. Weights of exponential growth and decay for Schrödinger-type operators. J. Funct. Anal., 281(1):Paper No. 108996, 93, 2021.
[2] David Cruz-Uribe. Two weight inequalities for fractional integral operators and commutators. Advanced courses of mathematical analysis VI, pages 25-85. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2017.