Sesión Matemática DiscretaPropiedades espectrales de grafos di-Cayley.
Paula Mercedes Chiapparoli
CIEM (CONICET), Universidad Nacional de Córdoba., Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Dado un grupo $G$ y $S_\ell$, $S_r$, $S_m$ subconjuntos de $G$, el grafo bi-Cayley $BX(G;S_\ell, S_r,S_m)$ está definido sobre el conjunto de vértices $G\times\{0,1\}$, tal que los vértices $(h,i)$ y $(g,i)$ forman un lado dirigido si $i=0$ y $gh^{-1}\in S_\ell$ o $i=1$ y $gh^{-1}\in S_r$; y los vértices $(h,0)$ y $(g,1)$ forman un lado no dirigido si $gh^{-1}\in S_m$. Generalizamos esta noción para permitir grafos dirigidos. El grafo di-Cayley $DX(G;S_\ell,S_r,S_m)$ tiene conjunto de vértices $G\times\{0,1\}$ tal que los vértices $(h,i)$ y $(g,i)$ forman un lado dirigido si $i=0$ y $gh^{-1}\in S_\ell$ o $i=1$ y $gh^{-1}\in S_r$; los vértices $(h,0)$ y $(g,1)$ forman un lado dirigido si $gh^{-1}\in S_m$ y los vertices $(h,1)$ y $(g,0)$ forman un lado dirigido si $hg^{-1}\in S_m$.
Daremos las matrices de adyacencia de los grafos bi/di-Cayley y de allí obtendremos su espectro en el caso donde los conjuntos de conexión son cerrados por conjugación. En particular, en el caso $S_\ell=S_r=S$, los autovalores del grafo di-Cayley espejo $\Gamma = DX(G;S,S,S_m)$ están dados por $$\lambda_{\Gamma}^{\pm} (\chi) = \frac{1}{\chi(1)} (\chi(S) \pm \chi(S_m)),$$ donde $\chi(S)=\sum_{s\in S} \chi(s)$ y $\chi \in \hat G$ se mueve en el conjunto de todos los caracteres irreducibles de $G$.
Esto nos permitirá dar criterios de isospectralidad y equienergía.
Trabajo en conjunto con: Ricardo A. Podestá (CIEM (CONICET), Universidad Nacional de Córdoba, Argentina).
Referencias
[1] P. M. Chiapparoli, R. A. Podestá. On mirror di-Cayley (sum) graphs and their spectrum (work in progress).
[2] P. M. Chiapparoli, R. A. Podestá. On di-Cayley graphs and their spectrum (work in progress).