Sesión Ecuaciones Diferenciales y aplicacionesAnálisis de un Problema de Frontera Libre en Régimen Cuasi-estático para una Ecuación de Difusión-Reacción
Diego Ernesto Guevara
Universidad Nacional de Rosario, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Consideramos un problema de frontera libre unidimensional de infiltración a través de un medio poroso con reacción de hidratación en régimen cuasi-estático. En el presente modelo, $u \geq 0$ representa la presión del fluido adimensionalizada y $\Gamma \in [0,1]$ denota el grado de avance de la reacción de hidratación ($\Gamma = 0$: sin reacción, $\Gamma = 1$: reacción completa). La función $ s(t) $ representa la posición del frente de saturación, que separa la zona de roca saturada con fluido ($ 0 \lt x \lt s(t) $) de la zona seca ( $x \gt s(t) $). La densidad de la reacción $\Gamma$ influye fuertemente en el comportamiento de la interfaz $s(t)$. Nuestro objetivo es analizar la evolución de las variables $u(x,t)$, $s(t)$ y $\Gamma(x,t)$, las cuales están gobernadas por el siguiente sistema de ecuaciones
\[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + (1-\Gamma) = 0, \quad t \gt 0,\; x \in (0, s(t)), \]
\[ - u_x(s(t),t) = \dot{s}(t), \quad t \gt 0,\; x = s(t), \]
\[ \frac{\partial \Gamma}{\partial t} = k(1-\Gamma), \quad t \gt 0,\; x \in (0, s(t)), \]
con condiciones iniciales \[ \Gamma(x,0) = \Gamma_0(x) \gt 0, \quad s(0) = s_0 \gt 0, \quad u(s_0,0) = 0, \]
y condiciones de borde \[ \Gamma(s(t),t) = 0, \quad u(0,t) = 1, \quad u(s(t),t) = 0. \]
Demostramos la existencia y la unicidad de soluciones mediante un argumento de punto fijo en un espacio de funciones continuas. Además, analizamos el comportamiento asintótico del frente de infiltración $s(t)$ y verificamos que tanto para tiempos cortos como para tiempos largos la evolución sigue $s(t) \propto \sqrt{t}$.
Trabajo en conjunto con: Piotr Rybka (Warsaw University, Warsaw, Poland) y Sabrina Roscani (Universidad Austral, Paraguay 1978, S2000FZF Rosario, Argentina).