UMA 2022
Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina
En esta charla estudiaremos el problema de Cauchy de la ecuación del calor con una fuerza de reacción tipo KPP monoestable. Considerando las isometrías y las geodésicas de este espacio, nosotros trabajamos con un dato inicial cuyo soporte se encuentra en el interior de un conjunto isométricamente invariante. Ello nos permite estudiar cómo la solución converge asintóticamente a un perfil de onda viajera en un sistema de referencia móvil con una corrección logarítmica. Nuestros resultados trasladan la teoría conocida sobre el problema KPP en espacio euclídeo al espacio hiperbólico poniendo especial atención a la geometría de este espacio.
Trabajo en conjunto con: Fernando Quirós (Universidad Autónoma de Madrid, España) y María del Mar González (Universidad Autónoma de Madrid, España).
Referencias
[1] Hamel, F., Nolen, J., Roquejoffre, J.M., Ryzhik, L. : "A short proof of the logarithmic Bramson correction in Fisher-KPP equations". Netw. Heterog. Media 8 (2013), no. 1, 275-289.
[2] Matano, H., Punzo, F., Tesei, A. (2014). "Front propagation for nonlinear diffusion on the hyperbolic space." Journal of the European Mathematical Society 017.5 (2015): 1199-1227.
El problema de encontrar $w(x,t)$ y $\Phi(x,t)$ en la ecuacion de Poisson \[w_{tt}+w_{xx}=\Phi(x,t)\]
sobre un dominio $E=(a_{1},b_{1})\times (a_{2},b_{2})$ o $E=(a_{1},b_{1})\times (a_{2},\infty)$, bajo condiciones de Cauchy es posible resolverlo usando las tecnicas de problema inverso de momentos generalizados.\\ Se aproxima $w(x,t)$ en dos pasos:\\ Consideramos la ecuacion $w_{xx}-k w_{tt}=-(k+1) w_{tt}+\Phi(x,t)=G(x,t)$ , y la llevamos a la ecuacion integral \[\iint_{E}u(-\sqrt{k}w_{x}+k w_{t})dA=\varphi_{1}(r)\]
Con las tecnicas de problema inverso de momentos se encuentra una solucion aproximada $p_{1n}(x,t)$ para $-\sqrt{k}w_{x}+kw_{t} $.\\ Entonces consideramos la ecuacion $-\sqrt{k}w_{x}(x,t)+kw_{t}(x,t)=p_{1n}(x,t)$ y la llevamos a la ecuacion integral \[\int_{a_{1}}^{b_{1}}\int_{a_{2}}^{b_{2}}K(m,r,x,t)w(x,t)dtdx=\varphi_{2}(m,r)\]
con \[\varphi_{2}(m,r)=\int_{a_{1}}^{b_{1}}u(m,r,x,b_{2})kw(x,b_{2})-u(m,r,x,a_{2})kw(x,a_{2})dx-\] \[-\int_{a_{2}}^{b_{2}}u(m,r,b_{1},t)\sqrt{k}w(b_{1},t)-u(m,r,a_{1},t)\sqrt{k}w(a_{1},t)dt-\int_{a_{2}}^{b_{2}} \int_{a_{1}}^{b_{1}}p_{1n}(x,t)udxdt\]
La resolvemos y hallamos una aproximacion $p_{2n}(x,t)$ para $w(x,t)$.\\ Finalmente consideramos $w_{xx}(x,t)+w_{tt}(x,t)=\Phi(x,t)$ la llevamos a la ecuacion integral \[\therefore \iint u\Phi(x,t)dA=G(m,r)-\] \[-\int_{a_{2}}^{b_{2}}\left( w(b_{1},t)u_{x}(m,r,b_{1},t)-w(a_{1},t)u_{x}(m,r,a_{1},t)\right) dt-\] \[-\int_{a_{1}}^{b_{1}}\left( w(x,b_{2})u_{t}(m,r,x,b_{2})-w(x,a_{2})u_{t}(m,r,x,a_{2})\right) dx+\] \[+\iint_{E}wu \left(-\left(\frac{m}{b_{1}} \right)^{2}+\left( \frac{r}{b_{2}}\right) ^{2} \right) dA=\varphi_{3}(m,r)\]
Reemplazamos $w(x,t)$ por $p_{2n}(x,t)$ en $\varphi_{3}(m,r)$. y se halla una solucion aproximada $p_{3n}(x,t)$ para $ \Phi(x,t)$.\\ Se encuentra una cota para el error de la solucion estimada y se ilustra el metodo con ejemplos.
En esta charla discutiremos la multiplicidad de soluciones para el siguiente problema \[ \left\{ \begin{array}{ccll} (-\bigtriangleup_{g})^{s} u = f(x,u) &~~& en~~\Omega,\\ u = 0&~~&en~~\Omega^{c}, \end{array} \right. \] donde $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ es un dominio acotado. $(-\Delta_g)^s$ es el $g$- Laplaciano fraccionario, con $g$ la derivada de una N-función y $f \colon \Omega \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es una función con crecimiento subcrítico en el sentido de las inclusiones de Orlicz-Sobolev. Más precisamente, apelando a la teoría de puntos críticos, obtendremos tres soluciones distintas para nuestro problema, las cuales son dos de signo constante y una nodal.
Trabajo en conjunto con: Silva, Analía (Universidad Nacional de San Luis, IMASL) y Ochoa, Pablo (Universidad Nacional de Cuyo, CONICET).
En colaboración con J. Fernández Bonder, hemos estudiado los espacios de Sóbolev anisotrópicos fraccionarios .
Para nuestro análisis, extendimos los resultado de Bourgain, Brezis & Mironescu [1] en el caso anisotrópico [3] probando el límite del funcional de energía $$ J_{\mathbf{s},\mathbf{p}}(u)=\sum_{i=1}\frac{s_i(1-s_i)}{p_i}{\int_{\mathbb{R}^n}}\int_\mathbb{R}\frac{|u(x-he_i)-u(x)|^{p_i}}{|h|^{1+s_ip_i}}\,dh\,dx, $$ cuando $\textbf{s}\to 1$.
Una aplicación inmediata de estos resultados es el estudio del operador pseudo $\textbf{p}$-Laplaciano anisotrópico, $ (-\widetilde{\Delta}_{\textbf{p}})^{\textbf{s}}.$
Basándonos en [2] analizamos la estabilidad y comportamiento asintótico de soluciones del problema: \begin{equation*} \begin{cases} (-\widetilde{\Delta}_{p})^{s} u = f & \text{in }\Omega\\ u=0 & \text{in } \mathbb{R}^n\setminus \Omega \end{cases} \end{equation*} cuando $\textbf{s}\to1$ y nuestra fuente, $f$, cumple distintas hipótesis.
Trabajo en conjunto con: J. Fernández Bonder (Instituto de cálculo,UBA).
Referencias
[1] Jean Bourgain, Haim Brezis, and Petru Mironescu. Another look at Sobolev spaces. In Optimal control and partial differential equations, pages 439–455. IOS, Amsterdam, 2001
[2] Julian Fernandez Bonder and Ariel Salort. Stability of solutions for nonlocal problems. Non- linear Anal., 200:112080, 13, 2020
[3] J. Chaker, M. Kim, and M. Weidner. The concentration-compactness principle for the nonlocal anisotropic p-laplacian of mixed order.
El famoso Principio de Compacidad por concentración descubierto por P.Lions en los 80, es la clave para resolver los problemas con perdida de compacidad en el sentido de las inclusiones de Sobolev. En esta charla discutiremos la extensión de dicho resultado al contexto de los espacios de Orlicz y su aplicación para demostrar la existencia de solución para una ecuación crítica.
Trabajo en conjunto con: Julián Fernández Bonder (UBA, IC).
Propuesta de Comunicación- UMA2022
Resumen:
Sea $H^1([0,T],\mathbb{R}^n)$ el espacio de funciones $u:[0,T]\to \mathbb{R}^n$ tal que $u\in L^2$ al igual que su derivada débil. Vamos a trabajar en el espacio $H^1_T([0,T],\mathbb{R}^n)=\{u\in H^1([0,T]) \text{ tal que } u(0)=u(T) \}$
Sea $\lambda$ la medida de Lebesgue y sea $\mu$ una medida de Borel con signo. Consideramos\\ $e:[0,T]\to\mathbb{R}^n$ en $L^1(|\mu|)$ tal que $\displaystyle\int_{[0,T)}e(t)d\mu=0$, y $F:[0,T]\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ que satisface las siguientes condiciones:
(C) $F$ y $\nabla F$ son funciones medibles Borel en $ t\in [0,T]$ $\forall x\in\mathbb{R}^n$, $F$ y $\nabla F$ son continuas con respecto a $x\in\mathbb{R}^n$ para $\lambda$-c.t.p. $t \in [0,T]$.
(A) Para $\lambda$-c.t.p. $t\in [0,T]$, vale que \[ |F(t,x)| + |\nabla F(t,x)| \leq a(x)b(t),\] para toda $x$, donde $a\in C\left(\mathbb{R}^n,[0,+\infty)\right)$ y $0\leq b\in L^1(\lambda)$.
(P) $F(t,x)=F(t,x+P_i\hat{e}_i)$ para todo $i=1,\ldots,n$ donde $P_i\in\mathbb{R}$ y $\hat{e}_i$ son los vectores canónicos.
Consideramos el problema \[ \left\{% \begin{array}{ll} u''= \nabla F(t,u)+e(t)\mu \\ u(0)-u(T)=0\\ u'(0)-u'(T)=0 \end{array}% \right.\] Diremos que $u$ es solución débil del problema si \[ \int_{0}^{T} u'(t)\psi'(t)dt=-\int_{0}^{T}\nabla F(t,u)\psi(t)dt-\int_{[0,T)}e(t)\psi(t)d\mu \] $\forall\psi\in H^1_T([0,T],\mathbb{R}^n)$. Aplicamos el M\'etodo Directo del C\'alculo de Variaciones y el Teorema del Paso de Montaña para demostrar la existencia de dos soluciones las cuales son puntos críticos del funcional. $\varphi_e:H^1_T([0,T])\to \mathbb{R}$ dado por \[ \varphi_e(u)= \int_{0}^{T}\dfrac{|u'(t)|^2}{2}+F(t,u(t))dt+\int_{[0,T)}e(t)u(t)d\mu. \]
Trabajo en conjunto con: ACINAS Sonia Ester (Universidad Nacional de La Pampa; sonia.acinas@gmail.com) y MAZZONE Fernando (Univercidad Nacional de Rio Cuarto; ).
Se estudia un problema de Stefan a dos fases para un material semi-infinito gobernado por ecuaciones de difusión-convección con coeficientes térmicos variables y particulares fuentes de calor. Se prueba existencia de solución de tipo similaridad imponiendo una condición de Dirichlet en el borde fijo. El problema es resuelto a través de un sistema de dos ecuaciones integrales acopladas con una condición para el parámetro que caracteriza a la frontera libre.
Trabajo en conjunto con: BRIOZZO, ADRIANA (CONICET- UNIV. AUSTRAL ROSARIO).
En el mundo real existen fenómenos que están sujetos a perturbaciones a corto plazo, cuya duración es insignificante respecto al proceso completo. Es natural, por lo tanto, suponer que estas perturbaciones actúan instantáneamente o en forma de ``impulso''. Estos fenómenos se modelan, entre otras, con ecuaciones diferenciales impulsivas y también con ecuaciones diferenciales con medida (pudiendo considerarse las primeras como un caso particular de las segundas).
En este trabajo investigamos el siguiente problema a valores iniciales, para una ecuación diferencial con medida:
$$ \left\{ \begin{split} d\varphi &=f(t,\varphi)\mu,\\ \varphi(t_0^{}) & =x _0^{}, \end{split} \right. $$ donde $f:\Omega\subset\mathbb{R}\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^{n\times m}$ es una matriz cuya componentes son funciones de Carathéodory, $\mu$ es un vector de $\mathbb{R}^m$ cuyos elementos son medida y $d\varphi$ representa la medida vectorial de Lebesgue-Stieltjes asociada a $\varphi$. Para dicho problema a valores iniciales, damos un concepto de solución adecuado para el mismo, estudiamos la existencia y unicidad de soluciones locales, también de soluciones definidas sobre intervalos maximales, y además establecemos algunas propiedades de las mismas. La herramienta principal para demostrar los resultados es el Teorema de Picard-Lindelöf. Para aplicar satisfactoriamente este Teorema, demostramos una desigualdad del tipo $$ \int_{[a,b)}^{} f(g(t))dg(t) \leq F(g(b))-F(g(a)), $$ donde $F(x)=\int_a^x f(s)ds$ y $g$ es una función real continua por izquierda.
Trabajo en conjunto con: Stefanía Demaría (UNRC), Graciela Giubergia (UNRC) y Fernando Mazzone (UNRC).
Referencias
[1] S. T. Zavalishchin and A. N. Sesekin. Dynamic Impulse Systems: Theory and Applications. Springer Science & Business Media, mar 2013.
[2] S. G. Pandit and S. G. Deo. Differential Systems Involving Impulses. Springer, nov 2006
[3] V. E. Slyusarchuk. General theorems on the existence and uniqueness of so- lutions of impulsive differential equations. Ukrainian Mathematical Journal, 52(7):1094–1106, 2000.
El modelo de percolación de primera pasada euclídea se basa en un proceso de Poisson $Q$ en $\mathbb{R}^d$ de intensidad constante y dado $\alpha > 1$ se define la distancia entre dos puntos como: \[ T(x,y) := \inf \left\{ \sum_{j = 0}^{k-1} |q_j - q_{j+1}|^\alpha: k \geq 2\, y\, (q_1,...,q_k)\, \textrm{es un camino de puntos con }q_1 = q(x)\, \textrm{y} \,q_k = q(y) \right\} \] donde $q(x)$ es el punto más próximo a $x$ en $Q$.
Este trabajo consiste en analizar el caso con ruido, es decir, cuando el proceso de Poisson está en $\mathbb{R}^d \subseteq \mathbb{R}^{d+r}$ y a cada punto se le suma un vector aleatorio en $\mathbb{R}^{d+r}$. Estudiaremos el comportamiento de $T(x,y)$ cuando $|x-y|\rightarrow \infty$ y según que hipótesis se le pide al ruido observaremos los distintos comportamientos de $T(x,y)$.
El objetivo final es entender que pasa cuando el proceso de Poisson no está soportado en $\mathbb{R}^{d}$, sino en una variedad. Esto es relevante para entender el comportamiento de la metodología propuesta en [2] para el análisis topologico de datos en presencia de ruido.
Trabajo en conjunto con: Pablo Groisman (Universidad de Buenos Aires, Argentina).
Referencias
[1] Howard, C.D. and Newman, C.M. (1997). Euclidean models of first-passage percolation. Probab. Theory Related Fields 108 153–170. MR1452554 https://doi.org/10.1007/s004400050105
[2] Eugenio Borghini, Ximena Fernández, Pablo Groisman, and Gabriel Mindlin. Intrinsic persistent homology via density-based metric learning. arXiv preprint arXiv:2012.07621, 2020.
Se considera un problema de frontera libre unidimensional a dos fases que modela el proceso de solidificación de una sustancia que está inicialmente en estado líquido. La principal característica es que la región sólida es un dominio angular, es decir, mientras que el líquido se solidifica, se contrae y forma una región vacía entre $x=0$ y $x=rs(t)$ donde $0 < r < 1$ es el parámetro de contracción y $x=s(t)$ es la posición de la interface. Se asumen las conductividades térmicas y calores específicos dependientes de la temperatura en ambas fases. Se obtiene existencia y unicidad de solución del problema de Stefan a dos fases con condición de tipo Neumann en $x=rs(t)$.
Trabajo en conjunto con: Julieta Bollati (Universidad Austral, CONICET), José A. Semitiel (Universidad Austral) y Domingo A. Tarzia (Universidad Austral, CONICET).
Se considera un problema de Stefan unidimensional a dos fases que describe el proceso de solidificación de una sustancia que inicialmente se encuentra en estado líquido. En este modelo mientras el líquido se solidifica, la región sólida se contrae y forma una región vacía entre $x=0$ y $x=rs(t)$, donde $r \in (0,1)$ es el parámetro de contracción y $x=s(t), \ t \geq 0$ es la frontera libre. Además se asumen las conductividades térmicas y calores específicos dependientes de la temperatura en ambas fases. A partir de la existencia y unicidad de solución del caso Dirichlet, se impone una sobrecondición del tipo Neumann en $x=rs(t)$ con el objetivo de determinar simultáneamente los coeficientes térmicos correspondientes al problema de frontera libre. En cada caso se obtienen fórmulas para los coeficientes térmicos así como también condiciones suficientes para garantizar la existencia de solución.
Trabajo en conjunto con: Bollati, Julieta (Universidad Austral - CONICET), Natale, María Fernanda (Universidad Austral) y Tarzia, Domingo Alberto (Universidad Austral - CONICET).
Years ago Zeev Rudnick defined the $\lambda$-Poisson generic sequences as the infinite sequences of symbols in a finite alphabet where the number of occurrences of long words in the initial segments follow the Poisson distribution with parameter $\lambda$. Benjamin Weiss and Yuval Peres [5] proved that almost all sequences with respect to Lebesgue measure are Poisson generic (see also [1]). Despite this result, no explicit example has yet been given.
In this talk I will present a construction of an explicit $\lambda$-Poisson generic sequence over an alphabet of at least three symbols, for any fixed positive real number $\lambda$. Since $\lambda$-Poisson genericity implies Borel normality, the constructed sequence is Borel normal. The same construction provides explicit instances of Borel normal sequences that are not $\lambda$-Poisson generic.
Given $x\in\Omega^{\mathbb N}$, and a positive real number $\lambda$, $i\in\mathbb N_0$ and $k\in\mathbb N$ we write $Z^\lambda_{i,k}(x)$ for the proportion of words of length $k$ that occur exactly $i$ times in the prefix of $x$ of length $\lfloor \lambda b^k \rfloor$.
Definition 1
Let $\lambda$ be a positive real number. A sequence $x\in\Omega^{\mathbb N}$ is $\lambda$-Poisson generic if for every $i\in \mathbb{N}_0$, \[ \lim_{k\rightarrow\infty} Z^\lambda_{i,k}(x) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^i}{i!}. \]
A sequence is Poisson generic if it is $\lambda$-Poisson generic for all positive real numbers $\lambda$.
The main result I will discuss is the following:
Theorem 1 ([Becher and S.H. [3, Theorem 1])
Let $\lambda $ be a positive real number and $\Omega$ a $b$-symbol alphabet, $b\geq 3$. Let $(p_i)_{i\in \mathbb N_0}$ be a sequence of non-negative real numbers such that $\sum\limits_{i\geq 0}p_i=1$ and $\sum\limits_{i\geq 0}ip_i=\lambda$. Then there is a construction of an infinite sequence $x$ over alphabet $\Omega $, which satisfies for every $i\in\mathbb{N}_0$, \[ \lim_{k\rightarrow\infty} Z^\lambda_{i,k}(x) = p_i. \]
The construction in Theorem 1 consists in concatenating segments of any infinite de Bruijn sequence [2, Theorem 1], which is a sequence that satisfies that each initial segment of length $b^k$ is a cyclic de Bruijn sequence of order $k$. Our construction works by selecting segments of this given sequence and repeating them as many times as determined by the probabilities $p_i$, for every $i\in\mathbb {N}_0$.
Weiss showed that $1$-Poisson genericity implies Borel normality and that the two notions do not coincide [6], witnessed by the Champernowne sequence [4]. The next result is a normality criterion that generalizes this fact. In contrast to Theorem 1, this result does not require the alphabet size $b$ to be greater than $2$.
Theorem 2 ([Becher and S.H. [3, Theorem 2])
Let $\Omega$ be a $b$-symbol alphabet, $b\geq 2$, and let $x\in\Omega^{\mathbb{N}}$. We fix a positive real number $\lambda$ and define for every $i\in \mathbb{N}_0$ the numbers $p_i=\liminf_{k\rightarrow\infty}Z_{i,k}^{\lambda}(x)$. If the numbers $p_i$ satisfy $\sum_{i\geq 0}ip_i=\lambda$ then $x$ is normal to base $b$.
As a consequence of Theorem 2 we obtain the following:
Corollary 1
Every $\lambda$-Poisson generic sequence is Borel normal, but the two notions do not coincide. The construction in Theorem 1 yields infinitely many Borel normal sequences which are not $\lambda$-Poisson generic.
Trabajo en conjunto con: Verónica Becher (Universidad de Buenos Aires).
Referencias
[1] Nicolás Alvarez, Verónica Becher, and Martín Mereb. Poisson generic sequences. Submitted, February 4, 2022. Preprint https://arxiv.org/abs/2202.01632.
[2] Verónica Becher and Pablo Ariel Heiber. On extending de Bruijn sequences. Information Processing Letters, 111:930–932, 2011.
[3] Verónica Becher and Gabriel Sac Himelfarb. A construction of a $\lambda$ - Poisson generic sequence. Submitted, May 9, 2022. Preprint https://arxiv.org/abs/2205.03981.
[4] David Champernowne. The construction of decimals normal in the scale of ten. Journal of London Mathematical Society, s1-8(4):254–260, 1933.
[5] Benjamin Weiss. Poisson generic points. Jean-Morlet Chair 2020 - Conference: Diophantine Problems, Determinism and Randomness, Centre International de Rencontres Mathématiques, November 23 to 29, 2020. Audio- visual resource: doi:10.24350/CIRM.V.19690103.
[6] Benjamin Weiss. Random-like behavior in deterministic systems, 16 June 2010. Conference at the Institute for Advanced Study Princeton University USA.