UMA 2022
Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina
Sea $\phi:Q\rightarrow M$ un $G$-fibrado principal suave. Una conexión en $\phi$ queda determinada por una $1$-forma ${\mathcal{A}}$ sobre $Q$ con valores en ${\mathfrak{g}}:=Lie(G)$ que satisface una relación de $G$-equivariancia (ver [3]). Una de las (tantas) aplicaciones de estas conexiones ha sido al estudio de la dinámica de ciertos sistemas dinámicos en $Q$ con tiempo continuo y grupo de simetría $G$. Una versión análoga de estos sistemas dinámicos, pero con tiempo discreto, ha llevado a introducir la noción de conexión discreta en $\phi$. Una tal conexión puede ser descripta mediante una función suave ${\mathcal{A}_d}$ definida en un entorno abierto de la diagonal $\Delta_Q$ de $Q\times Q$ y con valores en $G$ que satisface ciertas propiedades que son análogas discretas a las que cumplen las conexiones suaves (ver [2]). Hay nociones de curvatura tanto para conexiones como para conexiones discretas (ver [3] para las primeras y [2] para las segundas); se dice que una conexión continua o discreta es playa cuando su correspondiente curvatura es trivial.
Si ${\mathcal{A}_d}$ es una conexión discreta en $\phi$, es bien sabido que, identificando $\Delta_Q$ con $Q$, la función $\bar{{\mathcal{A}_d}} := (D_2{\mathcal{A}_d})|_{\Delta_Q}:TQ\rightarrow{\mathfrak{g}}$ define una conexión sobre $\phi$; en este sentido se dice que ${\mathcal{A}_d}$ es una integral de $\bar{{\mathcal{A}_d}}$. El problema de la integración de una conexión ${\mathcal{A}}$ en $\phi$ consiste en hallar todas las conexiones discretas ${\mathcal{A}_d}$ en $\phi$ que satisfagan $\bar{{\mathcal{A}_d}}={\mathcal{A}}$. En esta comunicación discutiremos este problema para el caso en que ${\mathcal{A}}$ es una conexión playa y veremos que siempre existe una única conexión discreta playa que la integra.
La demostración pasará por usar una descripción equivalente de ambos tipos de conexiones en términos de morfismos en las categorías de algebroides de Lie y de grupoides locales de Lie (ver [2]). Observando que el ``funtor de derivación'' o ``funtor de Lie'' aplica las conexiones discretas (playas, sobre $\phi$) en conexiones (playas, sobre $\phi$), un resultado de existencia y unicidad de morfismos entre grupoides locales de Lie que se originan en algebroides de Lie (ver [1]) permite obtener el resultado deseado.
Es posible reobtener la parte de existencia del resultado anterior usando una construcción explícita que, tal vez, permita extender la existencia de integrales de una conexión dada al caso no necesariamente playo. Si el tiempo lo permite, también indicaremos esta alternativa.
Trabajo en conjunto con: Francisco Kordon (franciscokordon@gmail.com).
Referencias
[1] A. Cabrera, I. Märcut y M. A. Salazar, 'On local integration of Lie brackets', Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal) (2018), 27.
[2] J. Fernández, M. Juchani y M. Zuccalli, 'Discrete connections on principal bundles: the discrete Atiyah sequence', J. Geom. Phys. 172 (2022), Paper No. 104417, 27.
[3] S. Kobayashi y K. Nomizu, 'Foundations of differential geometry. Vol. I', Wiley, 1969.
Ciertos espacios simétricos $M$ tienen la siguiente propiedad: para cada traslación infinitesimal $x$ a lo largo de una geodésica $\gamma$ en $M$, hay una rotación infinitesimal distinguida $L_{x}$ alrededor de $\gamma$ (aquí $x$ y $L_{x}$ son ciertos elementos del álgebra de Lie del grupo de isometrías de $M$). Para el caso prototipo $M=\mathbb{R}^{3}$, a la traslación infinitesimal en la dirección de $x\neq 0$ se le asocia la rotación infinitesimal $z\mapsto x\times z$.
Otros ejemplos se obtienen a partir de un grupo de Lie compacto $K$: Se puede tomar $M=K$ con métrica riemanniana bi-invariante, o $M=K^{\mathbb{C}}/K$, o $M$ el espacio euclídeo $\mathfrak{k}=$ Lie $\left( K\right) $. El grupo $G$ que actúa en $M$ en cada caso es $K\times K$, $K^{\mathbb{C}}$ y $\mathfrak{k}\rtimes _{\text{Ad}}K$. También, $M=\mathbb{R}^{7}$ con grupo actuando $G=\mathbb{R}^{7}\rtimes SO_{7}$ (de manera similar a $\mathbb{R}^{3}$, pero con el producto cruz octoniónico).
Estudiamos la controlabilidad de las distribuciones invariantes a izquierda en los grupos $G$ de arriba, asociadas a las rototraslaciones infinitesimales distinguidas. De manera informal: Una curva en $G$ (pensada como un movimiento de $M$) es admisible si en cada instante, a nivel infinitesimal, trasladar en alguna dirección conlleva realizar al mismo tiempo la rotación distinguida alrededor de esa dirección.
Trabajo en conjunto con: Eduardo Hulett (FaMAF-Universidad Nacional de Córdoba - CIEM-CONICET, Argentina) y Marcos Salvai (FaMAF-Universidad Nacional de Córdoba - CIEM-CONICET, Argentina).
Sea $v$ un campo suave unitario en una hipersuperficie umbílica (no totalmente geodésica) y completa $N$ de una forma espacial; por ejemplo en la esfera unitaria $S^{2k-1} \subset \mathbb{R}^{2k}$, o en una horosfera en el espacio hiperbólico. Damos condiciones necesarias y suficientes sobre $v$ para que los rayos geodésicos con velocidades iniciales $v$ (y $-v$) folien el exterior $U$ de $N$. Encontramos y exploramos relaciones entre estos campos, campos geodésicos y estructuras de contacto en $N$. Cuando los rayos correspondientes a cada $\pm v$ determinan foliaciones sobre $U$, $v$ induce un mapa billar exterior cuya tabla de billar es $U$. Describimos los campos unitarios en $N$ cuyo mapa billar exterior asociado preserva volumen.
Trabajo en conjunto con: Michael Harrison (Institute for Advanced Study, Princeton) y Marcos Salvai (CIEM - FAMAF, Argentina).
Sea $\ell$ un anillo conmutativo con involución $\ast$. Dado un grafo finito y dirigido $E$, su $\ell$-álgebra de Leavitt $L(E)$ es una $\ast$-álgebra asociativa que viene equipada con una $\mathbb{Z}$-graduación compatible. Su grupo de Grothendieck graduado $K_0^{gr}(L(E))$ es la completación a grupo del monoide de módulos proyectivos, graduados y finitamente generados; el desplazamiento de componentes homogéneas hace de este grupo un módulo sobre $\mathbb{Z}[t,t^{-1}]$. Un morfismo entre grupos de Grothendieck graduados se dice ordenado si envía clases de módulos proyectivos en clases de módulos proyectivos.
En [2] Roozbeh Hazrat conjetura que, cuando $\ell$ es un cuerpo, todo morfismo $\mathbb{Z}[t,t^{-1}]$-lineal y ordenado $K_0^{gr}(L(E)) \to K_0^{gr}(L(F))$ que envía $[L(E)]$ en $[L(F)]$ proviene de un morfismo graduado $L(E) \to L(F)$. En esta charla veremos el resultado principal de [1], que da una respuesta afirmativa a esta conjetura.
Referencias
[1] G. Arnone, Lifting morphisms between graded Grothendieck groups of Leavitt path algebras. arXiv:2206.06759 [math.RA].
[2] R. Hazrat, The graded Grothendieck group and the classification of Leavitt path algebras. Math. Ann. 355 (2013), no. 1, 273--325.
En 1936 König [1] dio inicio a una novedosa familia de problemas realizando la siguiente pregunta: Dado un grupo $G$, ¿existe un grafo cuyo grupo de automorfismos sea isomorfo a $G$? En 1938 Frucht probó que, de hecho, existen infinitos grafos no isomorfos entre sí para cada $G$; y dio una cota sobre la cantidad de vértices para el más pequeño. En las siguientes décadas hubo mejoras en dicha cota por parte de Sabidussi y Babai. Ya en 1982, Arlinghaus [2] hizo otro gran aporte, calculando explícitamente para cada $G$ abeliano la menor cantidad de vértices que debe tener un grafo con grupo de automorfismos $G$.
Paralelamente, en 1946 Birkhoff respondió la pregunta análoga para posets, probando que para todo grupo $G$ existe un poset con grupo de automorfismos $G$ y dio una cota para el tamaño del más pequeño. Posteriormente hubo aportes mejorando esta cota por parte de Frucht, Thorton, Barmak [3], Minian y Babai.
La charla comenzará repasando resultados previos sobre grupos de automorfismos de grafos y posets, y luego se comentarán algunos resultados que obtuvimos recientemente, junto con J. Barmak, sobre el menor cardinal que puede tener un poset con grupo de automorfismos $G$ para $G$ cíclico o $p-$grupo con $p \geq 11$.
Trabajo en conjunto con: Jonathan Barmak (Universidad de Buenos Aires).
Referencias
[1] D. König, Theorie der endlichen und unendlichen Graphen, Teubner-Archiv zur Mathematik [Teubner Archive on Mathematics], vol. 6, BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1986 (German). Mit einer Abhandlung von L. Euler. [With a monograph by L. Euler]; With an introduction by Paul Erdős; Edited and with comments and an introduction by H. Sachs; With a biography of König by T. Gallai; With English, French and Russian summaries. MR886676
[2] William C. Arlinghaus, The classification of minimal graphs with given abelian automorphism group, Mem. Amer. Math. Soc. 57 (1985), no. 330, viii+86, DOI 10.1090/memo/0330. MR803975
[3] Barmak, J.A. Small posets with prescribed automorphism group. Period Math Hung (2022). https://doi.org/10.1007/s10998-022-00475-5
El análisis de la no negatividad de polinomios reales sobre subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ es un problema clásico, cuyos orígenes se remontan al Problema 17 de Hilbert que plantea que todo polinomio no negativo en $\mathbb{R}^n$ es suma de cuadrados de funciones racionales. Más generalmente, un certificado de no negatividad para un polinomio $f$ sobre un conjunto semi-algebraico $S$ es una identidad algebraica que pone en evidencia que $f(x) \ge 0$ para todo $x\in S$. Estos certificados han sido aplicados, por ejemplo, en el desarrollo de algoritmos de optimización polinomial.
Si $S=\{ x\in \mathbb{R}^n \mid g_1(x)\ge 0, \dots, g_s(x) \ge 0\}$ con $g_1, \dots, g_s\in \mathbb{R}[\mathbf{x}]= \mathbb{R}[x_1, \dots, x_n]$, todo polinomio en $M(g_1, \dots, g_s):= \{ \sigma_0 + \sum_{1\le i\le s} \sigma_i g_i \mid \sigma_i \hbox{ es suma de cuadrados en } \mathbb{R}[\mathbf{x}]\}$ es no negativo en $S$. El Positivstellensatz de Putinar (ver [3]) establece que, si $R -\| \mathbf{x}\|^2 \in M(g_1, \dots, g_s)$ para algún $R \in \mathbb{R}_{ > 0}$ (donde $\| \mathbf{x}\|^2:=\sum_{1\le j \le n} x_j^2$), todo $f\in \mathbb{R}[\mathbf{x}]$ positivo en $S$ pertenece a $M(g_1,\dots, g_s)$ y, en [2], se dieron cotas para los grados de los polinomios en una representación de $f$ como elemento de $M(g_1,\dots, g_s)$.
La hipótesis $R - \| \mathbf{x}\|^2 \in M(g_1, \dots, g_s)$ en el Positivstellensatz de Putinar implica que $S$ es compacto. Una generalización para conjuntos no compactos fue dada en [4, Theorem 4.2]: bajo ciertas hipótesis sobre $f, g_1, \dots, g_s$, se muestra que existe $B\in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ tal que $(1+ \| \mathbf{x}\|^2 ) ^B f \in M(g_1, \dots, g_s)$. Por otra parte, en [1] se extendió el Positivstellensatz de Putinar a cilindros del tipo $S\times \mathbb{R}\subset \mathbb{R}^{n+1}$: bajo las mismas hipótesis sobre los polinomios $g_1,\dots, g_s\in \mathbb{R}[\mathbf{x}]$ que definen a $S\subset \mathbb{R}^n$, se prueba que si $f\in \mathbb{R}[\mathbf{x},y]$ es positivo en $S\times \mathbb{R}$ y satisface una condición técnica adicional, entonces $f\in M_{\mathbb{R}[\mathbf{x},y]}(g_1, \dots, g_s) := \{\sigma_0(\mathbf{x},y) + \sum_{1\le i\le s} \sigma_i(\mathbf{x},y) g_i(\mathbf{x}) \mid \sigma_i (\mathbf{x},y)\hbox{ suma de cuadrados en }\mathbb{R}[\mathbf{x},y]\}$, y se dan cotas para los grados de una representación.
En esta comunicación presentamos un nuevo certificado de no negatividad para polinomios positivos sobre conjuntos no compactos contenidos en cilindros. Si $S= \{(x,y)\in \mathbb{R}^{n+1} \mid g_1(x,y) \ge 0, \dots, g_s(x,y) \ge 0\}$ tal que $R- \| \mathbf{x} \|^2 \in M_{\mathbb{R}[\mathbf{x},y]}(g_1, \dots, g_s) $ para algún $R\in \mathbb{R}_{ > 0}$ y $f \in \mathbb{R}[\mathbf{x},y]$ es positivo en $S$, bajo ciertas hipótesis sobre $f, g_1, \dots, g_s$, mostramos que existen $N\in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ y polinomios $\sigma_0, \sigma_1, \dots, \sigma_s$ que son sumas de cuadrados en $\mathbb{R}[\mathbf{x},y]$ tales que \[(1+y^2)^N f =\sigma_0 + \sigma_1 g_1 + \cdots + \sigma_s g_s,\] con cotas para $N$ y los grados de $\sigma_0, \sigma_1, \dots, \sigma_s$.
Trabajo en conjunto con: Daniel Perrucci (Universidad de Buenos Aires y CONICET, Argentina)..
Referencias
[1] P. Escorcielo, D. Perrucci. A version of Putinar's Positivstellensatz for cylinders, J. Pure Appl. Algebra, Volume 224, Issue 12, 2020, 106448.
[2] J. Nie, M. Schweighofer. On the complexity of Putinar’s Positivstellensatz. J. Complexity 23 (2007), no. 1, 135–150.
[3] M. Putinar. Positive polynomials on compact semi-algebraic sets. Indiana University Mathematics Journal, 42(3): 969–984, 1993.
[4] M. Putinar, F.-H. Vasilescu. Solving moment problems by dimensional extension. Ann. Math. 149 (1999), 1087-1107.
La descomposición de polinomios reales multivariados como suma de cuadrados de polinomios es un problema central en geometría algebraica real, con aplicaciones teóricas y prácticas en diversas áreas de la matemática. Dado un polinomio $f$ que puede descomponerse como suma de cuadrados, llamamos longitud de $f$ a la cantidad mínima de cuadrados necesarios en cualquier descomposición de $f$. Una pregunta interesante y difícil es determinar el menor número $p(n,2d)$ tal que cualquier polinomio homogéneo de grado $2d$ en $n$ variables tiene longitud al menos $p(n,2d)$. Este número se conoce cómo número de Pitágoras (de polinomios de grado $2d$ en $n$ variables).
En [1], C. Scheiderer propone una forma de construir ejemplos de sumas de cuadrados. Suponiendo que una conjetura de A. Iarrobino y V. Kanev es cierta, el autor demuestra que la descomposición de estos polinomios como suma de cuadrados es única (salvo transformaciones ortogonales), lo que permite determinar fehacientemente la longitud de dichos polinomios. Estos ejemplos dan cotas inferiores para el número de Pitágoras para todos los pares $(n, 2d)$ ($n \ge 3$ y $d \ge 2$) y son las mejores cotas conocidas hasta el momento.
Las cotas inferiores obtenidas para el número de Pitágoras en el trabajo de C. Scheiderer son cercanas a las cotas superiores conocidas. Una pregunta natural es si esas cotas inferiores son óptimas, es decir, si cualquier polinomio puede descomponerse utilizando esa cantidad de cuadrados. Para el caso de polinomios de grado 4 en 5 variables, la cota establecida por C. Scheiderer es 7. Es decir, existe un polinomio que puede descomponerse como suma de 7 cuadrados pero no puede descomponerse como suma de 6 cuadrados (para este caso particular podemos probar la cota sin depender de la conjetura de Iarrobino y Kanev). En este trabajo (en progreso) damos un ejemplo de un polinomio de grado 4 en 5 variables que es suma de cuadrados de 8 polinomios y no puede descomponerse como suma de cuadrados de 7 polinomios. Este ejemplo mejora la cota inferior obtenida por C. Scheiderer, probando que el número de Pitágoras $p(5,4)$ es mayor o igual que 8. Hasta donde conocemos, este es el primer y único ejemplo en el que se obtiene una cota inferior mejor a la cota dada en [1] para cualquier $n$ y $d$, demostrando que dichas cotas no son siempre óptimas.
Referencias
[1] Claus Scheiderer, Sum of squares length of real forms, Mathematische Zeitschrift 286 (2017), no. 1-2, 559–570.
Sea $f$ un 2-cociclo de Hochschild y $A_f$ una deformación infinitesimal de un álgebra asociativa de dimensión finita $A$. Describiremos, bajo ciertas condiciones de $f$, la estructura de $Ext_{A_f}(S,S)$ en términos de $Ext_{A}(S,S)$ utilizando una construcción explícita de las resoluciones proyectivas minimales.
Trabajo en conjunto con: María Julia Redondo (Universidad Nacional del Sur, Argentina) y Lucrecia Román (Universidad Nacional del Sur, Argentina)..
In this talk, I will survey recent developments in noncommutative geometry in positive and mixed characteristic. Explicitly, this involves the construction of invariants of noncommutative topological algebras over a field of positive characteristic, or the $p$-adic integers. These invariants, namely (bivariant) \textit{local} and \textit{analytic cyclic homology}, are appropriate modifications of (bivariant) periodic cyclic homology. They satisfy desirable formal properties such as homotopy invariance, matricial stability and excision, which make them computable for large classes of algebras such as smooth curves over finite fields and Leavitt path algebras. The universal functor that satisfies these properties is an analytic version of bivariant K-theory, analogous to Cuntz's bivariant K-theory for locally convex algebras, whose construction will be discussed.
Trabajo en conjunto con: Guillermo Cortiñas (Universidad de Buenos Aires, Argentina), Ralf Meyer (University of Göttingen, Germany).
Referencias
[1] Ralf Meyer, Devarshi Mukherjee, Local cyclic homology for nonarchimedean Banach algebras, (accepted in Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, American Mathematical Society)
[2] Ralf Meyer, Devarshi Mukherjee, Analytic cyclic homology in positive characteristic, preprint (submitted), 2021
[3] Guillermo Cortiñas, Ralf Meyer, Devarshi Mukherjee, Non-Archimedean analytic cyclic homology, Documenta Mathematica, 2020
[4] Ralf Meyer, Devarshi Mukherjee, Dagger completions and bornological torsion-freeness, Quarterly Journal of Mathematics, 2019
Las álgebras inclinadas son una familia de álgebras muy importantes ya que son una clase muy cercana a las álgebras hereditarias, y estas últimas son las primeras álgebras que se estudian dentro de la Teoría de Representaciones de Álgebras. La teoría de inclinación fue desarrollada inicialmente sobre la categoría de módulos, luego se extiendió a otras categorías, como puede ser la categoría derivada, la categoría de conglomerados y su generalización a la categoría de $m$-conglomerados (para $m\in \mathbb{N}$).
La categoría de $m$-conglomerado, $C_m$, es la categoría de órbitas de la categoría derivada, $D^b(H)$, bajo la acción del funtor $F=\tau^{-1}[m]$, donde $\tau^{-1}$ es el trasladado de Auslander-Reiten, y $[m]$ es el funtor shift, entonces, la categoría de $m$-conglomerado es $C_m=D^b(H)/\tau^{-1}[m]$ (para $m\in \mathbb{N}$).
En esta comunicación consideraremos la categoría de $m$-conglomerado de un carcaj de tipo $E_6$, y daremos un algoritmo que nos permite listar todos los complejos silting en el dominio fundamental de la categoría de $m$-conglomerado. Entonces, para $m=2,3$, describiremos, a través de su carcaj con relaciones, todas las álgebras $m$-inclinadas de conglomerado provenientes de un carcaj de tipo $E_6$.
Sea $N$ un grupo de Lie nilpotente y $K$ un subgrupo compacto del grupo de automorfismos $Aut(N)$ de $N$. Se sabe que si $(K\ltimes N,K)$ es un par de Gelfand entonces $N$ es un grupo de Lie a lo sumo $2$-pasos nilpotente (ver [1]).
La noción de par de Gelfand fue generalizada cuando $K$ es un grupo no compacto. En [5] se presenta un par de Gelfand generalizado de la forma $(K_1\ltimes N_1,K_1)$ donde $N_1$ es un grupo de Lie $3$-pasos nilpotente y $K_1$ es isomorfo a $\mathbb{R}^{2}$.
En este trabajo encontramos, para $m\geq 2$ una familia $(K_m\ltimes N_m,K_m)$ de pares de Gelfand generalizados donde $N_m$ es un grupo de Lie $m+2$-pasos nilpotente y $K_m$ es isomorfo a $\mathbb{R}^{m+1}$.
Trabajo en conjunto con: José Ignacio García (Universidad Nacional de Salta) y Linda Saal (Universidad Nacional de Córdoba).
Referencias
[1] Benson, C., Jenkins, J., Ratcliff, G., On Gelfand pairs associated with solvable Lie groups, Trans. Amer. Math. Soc. 321 (1990), 85-116.
[2] Benson, C., Jenkins, J., Ratcliff, G., The orbit method and Gelfand pairs associated with nilpotent Lie groups, J. Geom. Anal. 9 (1999), 569-582.
[3] Van Dijk, G., Group representations on spaces of distributions, Russian J. Math. Phys. 2 (1994), 57-68.
[4] Dixmier, J., Sur les representations unitaires des groupes de Lie nilpotents. III, Canadian J. Math. 10 (1958), 321-348.
[5] Gallo, A., Saal, L., A generalized Gelfand pair attached to a 3-step nilpotent Lie group, J. Fourier Anal. Appl. Vol 26, 62 (2020)
[6] Kirillov, A.A., Unitary representations of nilpotent Lie groups, Russian Math. Surveys 17 (1962), 53-104.
[7] Kobayashi, T., Multiplicity free representations and visible actions on complex manifolds, Publ. RIMS Kyoto Univ. 41 (2005), 497-549.
[8] Mackey, G. W., Unitary group representations in Physics, Probability, and Number Theory, Mathematics Lecture Note series 55 (1978).
[9] Mokni, K., Thomas, E.G.F., Paires de Guelfand généralisées associées au groupe d'Heisenberg, J. Lie Theory 8 (1998), 325-334.
[10] Ratcliff, G., Symbols and orbits for 3-step nilpotent Lie groups, J. Funct. Anal. 62 (1985), 38-64.
En esta presentación daremos la noción de derivaciones extendidas de álgebras. Mostraremos cómo dicha idea amplía diversas definiciones de derivaciones generalizadas que aparecen en la literatura. Durante la charla nos enfocaremos en estudiar una subfamilia de estas derivaciones y probaremos que dicha familia parametriza a todo el conjunto derivaciones extendidas.
Al final, contaremos algunas aplicaciones de este concepto al estudio de las álgebras antisimétricas complejas de dimensión 3.
En este trabajo describimos condiciones para que un grupo de Lie $N$ 2-pasos nilpotente con una métrica Lorentziana sea naturalmente reductivo respecto de un grupo de presentación contenido en $N\rtimes H$, donde $H$ es el grupo de automorfismos isométricos de $N$, y estudiamos su distribución de simetría.
Trabajo en conjunto con: Francisco Vittone (Universidad Nacional de Rosario, Argentina) y Silvio Reggiani (Universidad Nacional de Rosario, Argentina).
Dado un peso matricial $W$ de tamaño $N$ tenemos asociado con él una sucesión de polinomios matriciales ortogonales mónicos $(P_{n}(x))$ y un álgebra $\mathcal{D}(W)$ de todos los operadores diferenciales $D$ que tienen a $P_{n}(x)$ como autofunción para cada $n\geq 0$, $P_{n}(x)D = \Lambda_{n}P_{n}(x)$.
El Problema Matricial de Bochner trata sobre encontrar cuáles de estos pesos cumplen que su álgebra $\mathcal{D}(W)$ admite un operador diferencial de segundo orden. Recientemente en $[1]$ Casper y Yakimov, estudiaron en profundidad esta álgebra, y probaron que bajo ciertas condiciones los pesos que son solución del problema de Bochner son aquellos que se obtienen por transfrormaciones de Darboux de pesos escalares clásicos.
En este trabajo exhibiremos en detalle un ejemplo de un peso matricial $W$ que es solución del problema matricial de Bochner y que no se obtiene a partir de pesos escalares clásicos por medio de transformaciones de Darboux.
Trabajo en conjunto con: Inés Pacharoni (Universidad Nacional de Córdoba, Argentina).
Referencias
[1] W. R. Casper y M. Yakimov. "The Matrix Bochner Problem". To appear in American Journal of Mathematics, 2020.
Usaremos resultados de geometría espectral para mostrar que el diámetro de una métrica Riemanniana homogénea en las esferas de dimensión impar no se realiza necesariamente entre polos opuestos.
Las álgebras de Evolución [1] son un caso particular de álgebras genéticas, que surgieron en el modelado de fenómenos biológicos tales como reproducción asexual y genética no Mendeliana. Son interesantes por la cantidad de aplicaciones que tienen, entre las cuales destacamos sistemas dinámicos, cadenas de Markov y teoría de grafos [2].
En esta charla presentaremos una generalización de las álgebras de evolución para el caso de dimensión infinita, más específicamente para espacios de Hilbert separables. Eso nos permitirá establecer conexiones que el caso de dimensión finita no permitía, por ejemplo, en cadenas de Markov o en teoría de grafos. Dado un grafo infinito $G$, tenemos que $G$ es de grado uniformemente limitado si y solo si tenemos asociada una álgebra de evolución de Hilbert $\mathcal{A}(G)$. Además, dado un paseo aleatorio simétrico sobre el mismo grafo $G$, es posible asociar otra álgebra de evolución $\mathcal{A}_{RW}(G)$. El principal resultado en este contexto [3] es que dado un grafo $G$ de grado uniformemente simétrico vale lo siguiente. Si el grafo es regular o biregular entonces las álgebras de evolución $\mathcal{A}(G)$ y $\mathcal{A}_{RW}(G)$ son isomorfas. Y reciprocamente, si $\mathcal{A}(G)$ y $\mathcal{A}_{RW}(G)$ son isomorfas y el grafo es no singular entonces $G$ es regular o biregular. Este resultado extiende una caracterización similar obtenida para el caso de dimensión finita [4].
Trabajo en conjunto con: P.M. Rodriguez (Universidade Federal de Pernambuco, Recife, PE, Brasil) y P. Cadavid (Universidade Federal do ABC, Santo André, SP, Brasil).
Referencias
[1] J.P. Tian and P. Vojtechovsky, Mathematical concepts of evolution algebras in non-Mendelian genetics. Quasigroups Related Systems 1(14), 111-122 (2006)
[2] J.P. Tian, Evolution algebras and their applications, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2008.
[3] S.J. Vidal, P. Cadavid, and P.M. Rodriguez, On Hilbert evolution algebras of a graph. Siberian Mathematical Journal (2022), to appear.
[4] P. Cadavid, M. L. Rodiño Montoya and P. M. Rodriguez, On the isomorphisms between evolution algebras of random walks and graphs. 69 n.10 (2021): 1858-1877.
Sea $\mathbb{F}_q$ el cuerpo finito de $q$ elementos. Un sistema de ecuaciones diagonales generalizadas es un sistema de la forma: \[ \left\{ \begin{array}{lcc} a_{11}x_1^{d_{11}}+a_{12}x_2^{d_{12}}+\cdots+a_{1t}x_t^{d_{1t}}=g_1(x_1,\ldots,x_k)\\ \hspace{50px}\vdots\\ a_{n1}x_1^{d_{n1}}+a_{n2}x_2^{d_{n2}}+\cdots+a_{nt}x_t^{d_{nt}}=g_n(x_1,\ldots,x_k)\\ \end{array} \right. \]
con $k \leq t$, $g_1,\ldots,g_n\in \mathbb{F}_q[x_1,\ldots,x_k]$, $grado(g_j) < d_t$ para $1\leq j\leq n$ y $d_t > d_{t-1} > \cdots > d_1 > 1$.
Diversos problemas de teoría de códigos, criptografía y combinatoria sobre cuerpos finitos requieren estimar o poder garantizar la existencia de soluciones racionales (soluciones con coordenadas en $\mathbb{F}_q$ ) de sistemas de la forma $(1)$ (ver, por ejemplo, [1] y [2]). Para el caso particular de una única ecuación diagonal existen muchos resultados, incluso hay fórmulas de conteo exacto de soluciones racionales para ecuaciones especiales. En [3] las autoras proporcionan estimaciones y resultados de existencia para variantes de ecuaciones diagonales. En cambio, cuando se trata de sistemas, se encuentran muchos menos resultados. En [4] las autoras estudian un caso particular de $(1)$ que se trata de los sistemas en los que $d_{ji}=d_{ki}$ si $k\neq j$ para $1\leq i\leq n$ y obtienen resultados que mejoran en diversos aspectos los de [5] y [6].
En este trabajo estudiamos la siguiente versión de $(1)$: consideramos $d_{ij}=d_{ik}$ para $ k\neq j$, $1\leq i\leq n$ y $g_i \in \mathbb{F}_q$ para todo $1\leq i\leq n$.
Nuestro interés en este sistema radica en que en primer lugar no se cuenta con resultados de existencia ni estimaciones de la cantidad de soluciones racionales del mismo y por otro lado en que el estudio del conjunto de sus soluciones racionales tiene aplicaciones a diferentes problemas en cuerpos finitos como, por ejemplo, el "Subset Sum Problem" y el estudio de los deep holes en el código de Reed Solomon.
Nuestra metodología consiste en considerar la variedad algebraica definida por los polinomios $f_j=a_{j1}x_1^{d_j}+\cdots+a_{jt}x_t^{d_j}-b_j$ para $1\leq j\leq n$ y estudiar las propiedades geométricas de la misma. A partir de este estudio se obtienen estimaciones y resultados de existencia de soluciones racionales del sistema.
Finalmente aplicamos los resultados obtenidos al estudio del "Subset Sum Problem" sobre cuerpos finitos.
Trabajo en conjunto con: Mariana Pérez (Universidad Nacional de Hurlingham, Argentina) y Melina Privitelli (Universidad Nacional de General Sarmiento, Argentina).
Referencias
[1] R. Lidl y H. Niederreiter. Finite fields, Adisson-Wesley, Reading, Massachusetts, 1983.
[2] Gary L. Mulln y Daniel Panario, Handbook of Finite Fields (1st ed.), Chapman and Hall/CRC, 2013.
[3] M. Pérez y M. Privitelli, Estimates on the number of rational solutions of variants of diagonal equations over finite fields, Finite Fields and Appl. 68,(2020), pp. 30.
[4] M. Pérez y M. Priivitelli, on the number of solutions of systems of certain diagonal equations over finite fields, Journal of Number Theory 236 (2022), 160-187.
[5] K. W. Spackman, Simultaneous solutions to diagonal equations over finite fields, J. Number Theory 11 (1979), 100-115.
[6] K. W. Spackman, On the number and distribution of simultaneous solutions to diagonal congruences, Canadian J. Math 33 (1981), no. 2. 421-436.
En esta presentación mostraremos una construcción de una sucesión de códigos AG localmente recuperables a partir de una torre de cuerpos de funciones, mostrando cotas para los parámetros relativos de los códigos obtenidos. En un caso particular de una torre sobre $ \mathbb{F}_{q^2} $ para cualquier $q$ impar, definida por García y Stichtenoth en [2], mostraremos que la cota inferior es ajustada para el primer código de la sucesión, e incluiremos una comparativa con otras cotas inferiores conocidas.
Trabajo en conjunto con: María Chara (UNL - CONICET, Argentina) y Edgar Martínez Moro (Universidad de Valladolid, España).
Referencias
[1] Alexander Barg, Itzhak Tamo, and Serge Vladut. Locally recoverable codes on algebraic curves. IEEE Transactions on Information Theory, 63(8):4928-4939, 2017.
[2] Arnaldo Garcia and Henning Stichtenoth. On the galois closure of towers. Recent trends in coding theory and its applications, 41:83-92, 2007.-
[3] P. Gopalan, C. Huang, H. Simitci, and S. Yekhanin. On the locality of codeword symbols. IEEE Trans. Inf. Theory, 58(11):6925-6934, 2012.
[4] Harald Niederreiter and Chaoping Xing. Rational points on curves over finite fields: Theory and Applications, volume 285. London Mathematical Society Lecture Note Series, 285. Cambridge University Press, Cambridge, 2001.
[5] Henning Stichtenoth. Algebraic function fields and codes, volume 254. Springer Science & Business Media, 2009
[6] Itzhak Tamo, Alexander Barg, and Alexey Frolov. Bounds on the parameters of locally recoverable codes. IEEE Transactions on Information Theory, 62(6):3070-3083, 2016.
En una JB-álgebra podemos estudiar el cono de elementos de espectro positivo. A partir de la representación cuadrática del álgebra de Jordan se puede definir el grupo de estructura $Str(V)$, que contiene en particular al grupo de transformaciones $G(\Omega)$ que fija el cono, entre ellas dos grupos importantes, el grupo interno de estructura y el grupo de automorfismos del álgebra. Estudiamos estos grupos como sugbrupos de Lie de $GL(V)$ y a sus respectivas álgebras de Lie.
Es posible probar en álgebras de dimensión finita que los elementos que surgen por la representación cuadrática son positivos si y solo si provienen de un elemento positivo o negativo. A partir de este resultado es fácil comprobar que en álgebras de Jordan euclidianas y simples solo existen dos coclases de $G(\Omega)$ en $Str(V)$, las correspondientes a $Id$ y a $-Id$.
Extendemos estos resultados a JB-álgebras. Los elementos de la representación cuadrática serán positivos si y solo si provienen de un elemento $x = \varepsilon v$ donde $\varepsilon$ es una simetría en el centro y $v$ es un elemento positivo. Luego caracterizaremos al grupo de estructura y las coclases de $G(\Omega)$.