UMA 2022
Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina
Recientemente, en [1], se introdujo la condición de optimalidad de Karush-Kuhn-Tucker Aproximada Positiva Escalada para problemas de optimización no lineal, donde además de tener restricciones de igualdad y de desigualdad, se tiene un conjunto abstracto de restricciones. Teniendo en cuenta que las condiciones de optimalidad son un pilar básico en el estudio de problemas de optimización, ya que suelen utilizarse al momento de definir algoritmos para la resolución de los problemas, extendimos esta definición para problemas en donde se tienen múltiples objetivos. Definimos un método de Lagrangiano Aumentado para problemas de optimización multiobjetivo con restricciones de igualdad, desigualdad y un conjunto de restricciones abstracto, donde se utiliza esta nueva condición como criterio de parada. Demostraremos la convergencia global del algoritmo en donde en cada iteración se resuelve un subproblema utilizando el método de gradiente proyectado no monótono definido en [2].
Trabajo en conjunto con: María Laura Schuverdt, CONICET, Universidad Nacional de La Plata, Argentina., Nadia Soledad Fazzio, Universidad Nacional de La Plata, Argentina. y Gabriel Anibal Carrizo, Universidad Nacional del Sur, Argentina.
Referencias
[1] R. Andreani, G. Haeser, M.L. Schuverdt, L.D. Secchin and P.J.S. Silva, On scaled stopping criteria for a safeguarded augmented Lagrangian method with theoretical guarantees, Mathematical Programming Computation, 14, (2022), 121--146.
[2] Carrizo, G.A., Fazzio, N. S., Schuverdt, M.L.: A nonmonotone projected gradient method for multiobjective problems on convex sets. Aceptado.
El problema de optimización binivel es un problema de minimización con restricciones donde una de las restricciones es a su vez otro problema de minimización. Surge a partir del juego de Stackelberg, donde dos participantes, líder y seguidor, toman decisiones para optimizar sus propias funciones objetivo. El estudio de este problema se centra por lo general en el enfoque optimista, cuya formulación es la siguiente: \[ \min_{x,y} F(x,y)\ \mbox{ s.a. }\ G(x,y)\leq 0,\ y\in S(x)=\mbox{arg}\min_y\{f(x,y)|g(x,y)\leq 0\}. \]
Una de las estrategias para resolver el problema binivel es la reformulación utilizando la función de valor óptimo del nivel inferior (LLVF por sus siglas en inglés), que reemplaza la condición $y\in S(x)$ por las restricciones $g(x,y)\leq 0$ y $f(x,y) - \varphi( x)\leq 0$, donde $\varphi(x):=\mbox{inf}\{f(x,y)|g(x,y)\leq 0\}$. En $1995$, Ye y Zhu [1] derivaron condiciones de optimalidad para este problema utilizando el concepto de calma parcial, permitiendo llevar la restricción con la LLVF al nivel superior con un parámetro de penalización exacta parcial $\lambda$: \[ \min_{x,y} F(x,y)+\lambda(f(x,y)-\varphi(x))\ \mbox{ s.a. }\ G(x,y)\leq 0,\ g(x,y)\leq 0. \]
En los trabajos de Tin et al. [2,3], los autores trabajan con un sistema de ecuaciones no lineales sobredeterminado equivalente al problema binivel, bajo ciertas condiciones, y derivan métodos de segundo órden para resolverlo. Allí encuentran empíricamente que los valores del parámetro $\lambda$ pequeños (menores a $1$) tienen un mejor desempeño que los valores muy grandes (mayores a $10^4$) y que los valores intermedios (entre $10^0$ y $10^4$) tienen bajo rendimiento, lo cual contradice lo esperado para parámetros de penalización.
Estudiamos el comportamiento de este parámetro $\lambda$ para comprender la razón de este funcionamiento anómalo, y derivamos un criterio de rendimiento del parámetro para evaluar cuál valor es mejor en un problema dado.
Trabajo en conjunto con: Andrés A. Barrea (Universidad Nacional de Córdoba, Argentina) y Elvio A. Pilotta (Universidad Nacional de Córdoba, Argentina).
Referencias
[1] Ye, Jane J. and Daoli Zhu. “Optimality conditions for bilevel programming problems.” Optimization 33 (1995): 9-27.
[2] Fliege, Jörg & Tin, Andrey & Zemkoho, Alain. (2021). Gauss–Newton-type methods for bilevel optimization. Computational Optimization and Applications. 10.1007/s10589-020-00254-3.
[3] Tin, Andrey & Zemkoho, Alain. (2021). Levenberg-Marquardt method and partial exact penalty parameter selection in bilevel optimization.
Consideramos soluciones de elementos finitos a problemas de optimización cuadrática, donde el estado depende del control a través de una ecuación diferencial parcial lineal. Explotando la estructura del sistema de optimización, demostramos que el error combinado del estado y del estado adjunto de la discretización variacional en espacios FEM está acotado por el mejor error de aproximación en los espacios discretos subyacentes. La constante en este límite depende de la raíz cuadrada inversa del parámetro de regularización de Tikhonov. Además, si los operadores de acción del control y observación del estado son compactos, esta constante de cuasi-mejor aproximación se vuelve independiente del parámetro de Tikhonov ya que el tamaño de la malla tiende a 0 y proporcionamos relaciones cuantitativas entre el tamaño de la malla y el parámetro de Tikhonov asegurando esta independencia. También derivamos generalizaciones de estos resultados cuando la variable de control se discretiza o cuando se toma de un conjunto convexo.
Referencias
[1] "Quasi-best approximation in optimization with PDE constraints", Fernando Gaspoz et al 2020, Inverse Problems 36, 01400
Sean $n$ y $p$ enteros positivos. Denotamos con $S_{p,\Xi}$ al espacio de dimensión $n$ de funciones splines de grado $p$ definido sobre un vector de nodos $\Xi= \{\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{n+p+1}\}$. Dada $f\in S_{p, \Xi}$, la misma se puede expresar a partir de $n$ coeficientes $\textbf{c}=(c_i)_{i=1}^n$ mediante $$f=\sum_{i=1}^{n} c_i B_{i,p,\Xi}$$ donde $B_{i,p,\Xi}$ denota la i-ésima B-spline de grado $p$ asociada a $\Xi$. Ahora, dado $i_0$ tal que $\xi_{i_0-1} \leq \xi_{i_0} < \xi_{i_0+1}$, definimos $\bar{\Xi}= \Xi \setminus \{\xi_{i_0}\}$ y denotamos con $S_{p, \bar{\Xi}}$ al espacio de funciones spline de grado $p$ sobre $\bar{\Xi}$ y de dimensión $n-1$.
Problema 1: Queremos hallar un spline $g\in S_{p, \bar{\Xi}}$ tal que $$ g=\arg\min_{h\in S_{p,\bar{\Xi}}} \|f-h\|_{L^2} $$ Para ello planteamos el siguiente Problema 2 equivalente a 1: Dado un spline $f\in S_{p,\Xi}$ se desea calcular un vector $\hat{\textbf{c}} \in \mathbb{R}^{n-1}$ tal que $$ \hat{\textbf{c}}= \arg\min_{z\in \mathbb{R}^{n-1}} \|E^\frac{1}{2}(Az-\textbf{c}) \|_{2} $$
donde $A$ es la matriz de inserción de nodos global de $S_{p,\bar{\Xi}}$ en $S_{p,\Xi}$ y $E$ es una matriz diagonal.
Una vez probada la equivalencia entre el Problema 1 y Problema 2, nos centraremos en encontrar la solución $\hat{\textbf{c}}$ del Problema 2.
En la búsqueda del vector $\hat{\textbf{c}}$ se prueba que este tiene ciertas propiedades, por un lado es solución de un sistema lineal de la forma $B^T B \hat{\textbf{c}}= B^T \textbf{c}$ y que el residuo del sistema global de orden $n$ se puede reducir al de un sistema lineal local más pequeño de orden $p+2$.
Por último veremos que el residuo de este sistema pequeño se puede calcular como una combinación de ciertas componentes del vector $\textbf{c}$, la cual proviene de una descomposición QR de la matriz $B$.
Trabajo en conjunto con: Eduardo M. Garau (Universidad Nacional del Litoral, Argentina).
Consideramos el siguiente problema donde $a$ es una función en la clase de Muckenhoupt $A_2$, $c$ una función acotada tal que $c(x) > M > 0$, $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ un dominio poligonal y $f \in L^{2}(\Omega)$:
\[\begin{equation*} \label{Ecuacion1} \left\{\begin{array}{rcccc} -div(a\nabla u ) +cu &=& f &\text{ en } \Omega \\ u &=& 0 &\text{ en } \Gamma \\ \end{array}\right. \end{equation*}\]
En esta comunicación presentaré resultados sobre las estimaciones del error a priori de la aplicación del método mixto de elementos finitos para estas ecuaciones.
Trabajo en conjunto con: María Gabriela Armentano (UBA-CONICET) y Ricardo Durán (UBA-CONICET).
Consideramos problemas de convección-difusión estacionarios con convección dominante de la forma \[ \left\{ \begin{array}{rcl} -{\rm div} (\varepsilon \nabla u -\overline{\beta} u) &=& f \qquad \mbox{ en } \Omega, \\ u&=&g \qquad \mbox{ en } \Gamma, \end{array}\right. \] donde $\Omega$ es un dominio poligonal y $\Gamma = \partial \Omega$. Además, $\overline{\beta}$ es un campo vectorial, $f$ y $g$ funciones dadas y $0 < \varepsilon \ll 1$ (caso singularmente perturbado).
Los términos convectivos en este tipo de problemas tienen influencia significante en las soluciones tanto teóricas como numéricas, y no pueden considerarse simplemente términos de menor orden. Las soluciones de los problemas de convección-difusión son de naturaleza convectiva en la mayor parte del dominio y la parte difusiva del operador diferencial tiene influencia solo en ciertos subdominios estrechos. Allí, el gradiente de la solución es grande: su magnitud es proporcional a alguna potencia negativa de $\varepsilon$.
El hecho de que el comportamiento elíptico sea solo en una parte menor del dominio causa que los métodos numéricos para problemas elípticos no funcionen adecuadamente, exhibiendo un cierto grado de inestabilidad en la práctica. Más aún, el diseño de métodos adecuados para la interacción entre convección y difusión plantea una tarea desafiante en análisis numérico de EDPs.
En esta charla presentamos un desarrollo preliminar que consiste en aplicar una técnica de estabilización conocida como exponential fitting (EF) [1] al método High Hybrid Method (HHO) recientemente introducido en la literatura [2]. Más específicamente, en el caso $\overline{\beta} = \nabla\psi$, el problema (1) puede simetrizarse escribiéndose como ${\rm div}(a(x)\nabla \rho)=f$ con apropiadas condiciones de borde para la nueva variable $\rho$. Se discretiza este nuevo problema con el método HHO y luego, a nivel discreto, se vuelve a la variable $u_h$ (aproximación de $u$) mediante una adecuada transformación inversa discreta (EF).
El método HHO utiliza espacios discretos que consisten de polinomiales a trozos sobre los elementos e, independientemente, sobre las aristas de las mallas. Una de las características que lo definen es la posibilidad de utilizar mallas poligonales arbitrarias que puede ser determinante a la hora de trabajar con geometrías complejas o cuando se necesita adaptatividad. La combinación de EF con un método de Galerkin discontinuo ya había sido estudiada en [3]. El método HHO de grado más bajo brinda una manera, en principio más natural, de definir la transformación inversa discreta $\rho_h\to u_h$ que caracteriza a esta técnica.
Trabajo en conjunto con: Ariel Lombardi (Universidad Nacional de Rosario, Facultad de Ciencias Exactas Ingeniería y Agrimensura - CONICET, Argentina) y Melani Barrios (Universidad Nacional de Rosario, Facultad de Ciencias Exactas Ingeniería y Agrimensura, Argentina).
Referencias
[1] Brezzi, F., Marini, L. D., and Pietra, P. Two-dimensional exponential fitting and applications to drift-diffusion models. SIAM Journal on Numerical Analysis 26, 6 (1989), 1342–1355
[2] Di Pietro, D. A., and Droniou, J. The hybrid high-order method for polytopal meshes. Design, analysis, and applications 19 (2019).
[3] Lombardi, A. L., and Pietra, P. Exponentially fitted discontinuous galerkin schemes for singularly perturbed problems. Numerical Methods for Partial Differential Equations 28, 6 (2012), 1747–1777.
Sea $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ un abierto con borde poligonal dividido en dos subdominios $\Omega_S$ y $\Omega_D$, donde los subindices $S$ y $D$ simbolizan el medio fluido y el poroso respectivamente. Asumimos que $\overline{\Omega} = \overline{\Omega}_S \cup \overline{\Omega}_D$, $\Omega_S \cap \Omega_D = \emptyset$ y notamos $\Gamma_I =\overline{\Omega}_S \cap \overline{\Omega}_D$ la interfase entre el fluido y el medio poroso, $\Gamma_S = \partial \Omega_S \setminus \Gamma_I$ y $\Gamma_D = \partial \Omega_D \setminus \Gamma_I$.
El problema de Stokes-Darcy acoplado describe el movimiento de un fluido viscoso incompresible que ocupa la región $\Omega_S$ y que fluye a través de la interfase al medio poroso situado en $\Omega_D$. El modelo matemático de este problema puede ser definido por dos grupos separados de ecuaciones correspondientes a $\Omega_S$ y $\Omega_D$ y un conjunto de ecuaciones referentes al acople. Para cualquier función $\mathbf{v}$ definida en $\Omega$ notamos $\mathbf{v}_S = \mathbf{v}|_{\Omega_S}$ y $\mathbf{v}_D = \mathbf{v}|_{\Omega_D}$.
En $\Omega_S$, el movimiento del fluido está gobernado por la ecuación de Stokes: $$ \left\{ \begin{aligned} -\mu \Delta \mathbf{u}_S+ \nabla p_S &= \mathbf{f}_S,\, \mbox{ en } \Omega_S,\\ \mbox{ div } \mathbf{u}_S &= 0,\quad \mbox{ en } \Omega_S,\\ \mathbf{u}_S &= 0,\quad \mbox{ en } \Gamma_S, \end{aligned} \right. $$ donde $\mathbf{u}_S$ representa la velocidad del fluido, $p_S$ la presión, $\mathbf{f}_S \in (L^2(\Omega_S))^2$ la fuerza por unidad de masa y $\mu > 0$ la viscosidad.
Notamos por $\mathbf{n}_j$ la normal exterior en $\partial \Omega_j$, $j=S,D$. En la interfase $\Gamma_I$, tenemos $\mathbf{n}_S = -\mathbf{n}_D$. En $\Omega_D$, el movimiento del fluido en el medio poroso es gobernado por la ley de Darcy:
$$ \left\{ \begin{aligned} \frac{\mu}{K} \mathbf{u}_D + \nabla p_D &= \mathbf{f}_D,\, \mbox{ en } \Omega_D,\\ \mbox{ div } \mathbf{u}_D &= g_D,\, \mbox{ en } \Omega_D,\\ \mathbf{u}_D \cdot \boldsymbol{n_D} &= 0,\quad \mbox{ en } \Gamma_D, \end{aligned} \right. $$ con $\mathbf{u}_D$ la velocidad, $p_D$ la presión, $\mathbf{f}_D \in (L^2(\Omega_D))^2$, $g_D\in L^2(\Omega_D)$ y $K$ el tensor de permeabilidad aquí reducido a un escalar positivo pues consideramos el caso isotrópico.
En la interfase asuminos las siguientes condiciones: $$ \left\{ \begin{aligned} \mathbf{u}_D \cdot \mathbf{n}_D + \mathbf{u}_S \cdot \mathbf{n}_S &=0 , \\ p_S \, \mathbf{n}_{S} - \mu \nabla \mathbf{u}_S \, \mathbf{n}_{S} - p_D \, \mathbf{n}_{S}- \mu\frac{\alpha}{\sqrt{K}} (\mathbf{u}_S \cdot \mathbf{t} )\, \mathbf{t} &=0, \end{aligned} \right. $$
La primera ecuación representa la conservación de masa y la segunda es la condición de Beavers-Joseph-Saffman, $\alpha$ es un parámetro determinado por evidencia experimental y $\mathbf{t} $ es el vector tangente en $\Gamma_I$.
En este trabajo analizamos la resolución por elementos finitos del problema acoplado de Stokes-Darcy mediante el método de Taylor-Hood de orden más bajo, el cual emplea funciones continuas cuadráticas a trozos para la velocidad y funciones continuas lineales a trozos para la presión.
Los métodos de Taylor-Hood son unos de los métodos más usados para resolver el problema de Stokes, ya que para Stokes resultan ser estables y de simple aplicación, sin embargo pueden no ser apropiados para resolver el problema de Darcy y en consecuencia no ser adecuados para el problema de Stokes-Darcy acoplado. Presentamos entonces una reformulación del problema acoplado que nos permite utilizar el método de Taylor-Hood en el problema de Stokes-Darcy bajo consideración. La estabilidad del método se demuestra construyendo un operador de Fortin apropiado. El método propuesto resulta ser de orden óptimo y de muy simple implementación. Concluimos mostrando varios ejemplos numéricos que muestran la buena performance del método propuesto.
Trabajo en conjunto con: María Lorena Stockdale (Depto. de Matemática, FCEyN, UBA, Argentina).
En esta charla comentamos dos trabajos en los que abordamos la resolución de problemas de la forma: \[-\Delta u = \mu,\] donde $\mu$ es una medida singular. En particular, nos interesan singularidades puntuales, como es el caso en que $\mu$ es una delta de Dirac. Este tipo de problemas presenta dificultades tanto en el problema continuo, que no puede plantearse en los espacios usuales, como en el discreto, en el que se observa un deterioro en el orden de convergencia de la solución numérica, debido a la singularidad del dato.
En primer lugar, estudiamos la formulación débil del problema continuo en espacios con pesos, con hipótesis generales sobre la fuente $\mu$. Esto da lugar a un planteo no simétrico que no se hereda en el problema discreto. Es necesario, por lo tanto, obtener resultados de buena formulación para el caso discreto. En este sentido, obtenemos dos resultados: uno con fuente general, para mallas cuasi-uniformes. El segundo y más interesante para fuentes que presentan una singularidad puntual, sobre mallas graduadas hacia la singularidad. En este último caso, realizamos también un análisis de la convergencia, mostrando que para ciertos valores del parámetro de graduación se recuperan órdenes óptimos de convergencia.
Trabajo en conjunto con: Ricardo Durán (UBA - IMAS, Argentina) y Irene Drelichman (UBA - IMAS - UNLP, Argentina).
Referencias
[1] Durán, R., Drelichman, I, Ojea. I.; A weighted setting for the numerical approximation of the Poisson problem with singular sources. SIAM Journal on Numerical AnalysisVol. 58, Iss. 1 (2020)10.1137/18M1213105
[2] Ojea, I.; Optimal a priori error estimates in weighted Sobolev spaces for the Poisson problem with singular sources; ESAIM-M2AN, (2021) vol. 55 p. 879 - 907