Sesión Matemática DiscretaParking functions con dinv secundario igual a 0.
Luis Agustín Cardenas Pena
Universidad de Talca, Chile - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Las parking functions son un objeto combinatorio que juega un rol importante en la combinatoria algebraica y el estudio de las funciones simétricas. Dos invariantes importantes en este contexto son el área debajo de una parking function, y la cantidad de pares de inversión diagonal (diagonal inversion pairs) abreviados como dinv. Los dinv se dividen en dos, los dinv primarios y los dinv secundarios.
En esta charla las trataremos meramente como un objeto combinatorio, y describimos las parking functions con dinv secundario igual a $0$, enumerandolas mediante otros objetos combinatorios.
Se conocen varias biyecciones entre el conjunto $PF(n)$ de parking functions de tamaño $n$ y otros objetos combinatorios. Un ejemplo es $F(n)$ el conjunto de los labeled rooted forest de tamaño $n$.
Un subconjunto de $PF(n)$ interesante es el conjunto $PFZ(n)$ de las parking functions con dinv secundario igual a cero. Se observó que los primeros $12$ términos de la sucesión $\# PFZ(n)$ coinciden con la sucesión A007840 de oeis.org. Esta sucesión también cuenta el cardinal el conjunto $uF(n)$, los unimodal labeled rooted forest de tamaño $n$. Las biyecciones conocidas entre $PF(n)$ y $F(n)$ restringidas a $PFZ(n)$ no tienen a $uF(n)$ como imagen.
Uno de los conjuntos descriptos por la sucesión A007840 es $OC(n)$ la cantidad de formas de dividir a $[1,n]$ en ciclos, distinguiendo del orden. Por ejemplo, para $n=2$ hay $3$ formas que son $(1)(2),(2)(1),(12)$ ya que distinguimos a $(1)(2)$ de $(2)(1)$.
En "Parking Functions with Zero Dinv" probamos que las funciones que enumeran los conjuntos $PFZ(n)$ y $OC(n)$ coinciden demostrando que satisfacen la siguiente relación de recursión: \begin{equation} \varphi (n) = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{(n-1)!}{ (n-k)! } \sum_{\ell=0}^{n-k} \binom{n-k}{\ell} \varphi ( \ell ) \varphi ( n-k-\ell ) . \end{equation}
Recientemente logramos explotar esta recursión para dar una biyección explicita entre $OC(n)$ y $PFZ(n)$, con la relación bien desarrollada se ve que $OC(n)$ se puede incrustar de forma bastante intuitiva en $PF(n)$ como las $PFZ(n)$. Componiendo la biyección $PFZ(n) \to OC(n)$ con una biyección conocida entre $OC(n) \to uF(n)$ se puede describir de forma directa una biyección entre $PFZ(n)$ y $uF(n)$. Un problema interesante a futuro es estudiar posibles extensiones de esta biyección a los conjuntos $PF(n) \to F(n)$.
Trabajo en conjunto con: Susanna Fishel (Arizona State University).
Referencias
[1] Susanna Fishel y Luis Pena. Parking Functions with Zero Dinv. Arabian Journal For Mathematics (aceptado, pendiente de publicación).
[2] Adriano M. Garsia, Guoce Xin, Mike Zabrocki. A three shuffle case of the compositional parking function conjecture. Elsevier Journal of Combinatorial Theory, Series A Volume 123, Issue 1, April 2014, Pages 202-238
[3] Antonio Guedes de Oliveira y Michel las Vergnas. Parking Functions and labeled trees. Séminaire Lotharingien de Combinatoire 65 (2011), Article B65e
[4] Katie Anders y Kassie Archer. Rooted forests that avoid sets of permutations. European Journal of Combinatorics Volume 77, March 2019, Pages 1-16