Sesión Álgebra, Teoría de Números y TopologíaBases de Schur para funciones m-simétricas
Luis Agustín Cardenas Pena
Universidad de Talca, Chile - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Los polinomios de Macdonald $m$-simétricos $J_{\Lambda} (x;q,t)$ generalizan tanto a los polinomios de Macdonald simétricos $J_{\lambda} (x;q,t)$ como los polinomios de Macdonald no simétricos $E_{\eta} (x;q,t)$. La generalización $m$-simétrica de la conjetura de Macdonald (teorema desde el 2001) dice que $$ J_{\Lambda} (x;q,t) = \sum_{\Omega} K_{\Lambda,\Omega}(q,t) s_{\Omega} (x;t) \quad \text{ con } K_{\Lambda,\Omega}(q,t) \in \mathbb{N}[q,t] $$ La generalización $m$-simétrica de las funciones de Schur $s_{\Omega} (x;t)$ es de mayor complejidad que la versión simétrica, ya que depende de un parámetro $t$. Esta base está relacionada mediante un producto interno a una base $s_{\Omega}^{*} (x;t)$. La relación entre estas dos, cuando $t=0$ da lugar a una correspondencia del tipo Robinson-Schensted y una identidad del tipo Cauchy $$ \sum_{\Lambda} s_{\Lambda} (x;0) s_{\Lambda}^{*}(y;0) = \dfrac{1}{ \displaystyle \prod_{i+j \leq m+1} (1- x_{i} y_{j}) } \cdot \dfrac{1}{ \displaystyle \prod_{i,j} (1- x_{i} y_{j}) } $$ Empleando una generalización del concepto de right key tableau, así como modificación a medida del algoritmo de inserción de Robinson-Schensted-Knuth se puede demostrar esta identidad, la cual generaliza las identidades clásicas: $$ \sum_{\lambda} s_{\lambda}(x) s_{\lambda} (y) = \sum_{i,j} \dfrac{1}{1-x_{i}y_{j}} $$ de funciones de Schur $$ \sum_{\alpha} k_{\alpha}(x) \hat{k}_{\alpha} (y) = \sum_{i+j \leq n+1} \dfrac{1}{1-x_{i}y_{j}} $$ que relaciona los demazure polynomials con los demazure atoms.
Trabajo en conjunto con: Luc Lapointe (Universidad de Talca, Chile)..
Referencias
[1] Luc Lapointe. m-Symmetric functions, non-symmetric Macdonald polynomials and positivity conjectures. https://arxiv.org/abs/2206.05177
[2] Ivan Cherednik. Non-Symmetric Macdonald Polynomials. International Mathematics Research Notices, 1995(10):483–515, 1995.
[3] M. Haiman. Hilbert schemes, polygraphs, and the Macdonald positivity conjecture. J. Amer. Math. Soc., 14(4):941–1006, 2001.
[4] Alain Lascoux. Double Crystal Graphs. Progress in Mathematics, page 95–114, 2003.
[5] I. G. Macdonald. Symmetric functions and Hall polynomials . Clarendon Press, Oxford, 1995.