Sesión Análisis armónico, real y teoría de aproximaciónAproximación matricial de rango bajo: caracterización geométrica y forma explícita de las soluciones
Ludmila Zabala
Universidad Nacional de Río Cuarto, CONICET, FCEFQyN, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
En álgebra matricial, el problema de aproximación de rango bajo consiste en hallar, entre todas las matrices de rango acotado, la que mejor aproxima una dada. Una solución analítica está caracterizada por el teorema de Eckart–Young–Mirsky, basado en la descomposición en valores singulares [1,2]. Esta teoría es central en áreas como compresión de datos, aprendizaje automático y análisis de señales. Desde un punto de vista más general, la idea de encontrar una subestructura lineal que represente óptimamente un conjunto de datos, motivó la noción de subespacios óptimos, introducida por Kolmogorov [3]. Estos subespacios permiten describir clases de funciones o señales a través de bases reducidas que capturan su estructura esencial. En espacios de Hilbert, su existencia y construcción explícita fueron establecidas en los trabajos [4,5]. En esta charla se presenta una nueva caracterización geométrica del problema de aproximación de rango bajo, mostrando que toda solución óptima puede obtenerse mediante proyecciones ortogonales sobre subespacios óptimos. Este enfoque no solo ofrece una interpretación intuitiva de las soluciones, sino que además permite caracterizar todas las aproximaciones de rango bajo, y extender naturalmente los resultados al contexto de espacios de Hilbert, de gran utilidad en problemas infinito‑dimensionales [6]. Más precisamente, sea $G \in \mathbb{R}^{m \times k}$ con descomposición en valores singulares (SVD) $G = U \Sigma Q^\top$ y sea $\mathcal{M}_n(G)$ el conjunto de todas las mejores aproximaciones a $G$ de rango $n$. Mostramos que toda $\widehat{G} \in \mathcal{M}_n(G)$ se puede escribir como \[ \widehat{G} = U_1 \Sigma_1 Q_1^\top + \sigma_n U_2 B_2 Q_2^\top, \] donde $U_1, U_2, Q_1, Q_2$ y $\Sigma_1$ provienen de una partición específica de la SVD de $G$, $B_2$ es una matriz de proyección ortogonal de rango $n - p$, y $p$ denota el índice del último valor singular estrictamente mayor que $\sigma_n$ entre los primeros $n$ valores singulares (con la convención $p=0$ si $\sigma_1 = \sigma_n$). Esta expresión permite describir de forma explícita todas las soluciones óptimas como sumas de proyecciones sobre subespacios de singularidades dominantes y degeneradas.
Este trabajo está parcialmente subvencionado por la Universidad Nacional de Río Cuarto (PPI 18/C614-2), Universidad Nacional de La Pampa, Facultad de Ingeniería (Resol. Nro. 203/23), y CONICET (PIP 112-202001-00694CO).
Trabajo en conjunto con: Federico D. Kovac, Marina V. Roldán (Universidad Nacional de La Pampa, Facultad de Ingeniería, Argentina) y Fabián E. Levis (Universidad Nacional de Río Cuarto, CONICET, FCEFQyN, Argentina).
Referencias
[1] Schmidt, E., Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. Math. Ann. 63 (1907), 433–476.
[2] Mirsky, L., Symmetric gauge functions and unitarily invariant norms. Q. J. Math. 11 (1960), 50–59.
[3] Kolmogorov, A.N., On the best approximation of functions of a given class. Ann. of Math. 37 (1936), 107–110.
[4] Aldroubi, A., Cabrelli, C., Molter, U., Optimal non-linear models for sparsity and sampling. J. Fourier Anal. Appl. 14 (2008), 793–812.
[5] Cuenya, H.H., Levis, F.E., Lorenzo, M.D., Rodríguez, C.N., Optimal subspaces in normed spaces. East J. Approx. 16 (2010), 193–207.
[6] Conway, J.B., A Course in Functional Analysis. Springer-Verlag, New York, 1990.