Sesión Ecuaciones Diferenciales y aplicacionesLa densidad crítica en ecuaciones elípticas
Marco Sanchez
CMaLP (Centro de Matemática de La Plata), Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
El lema de densidad crítica es una pieza fundamental para la teoría de regularidad en ecuaciones elípticas. Dice lo siguiente: Si
$Lu \leq C$ en $B_{1} ;$
$u \gt 0$ en $\partial B_{1} ;$
$u(0)\leq -1 ;$
entonces $|\{ u \lt 0 \}| \geq \delta,$ donde $\delta $ dependa solo de la dimensión y elipticidad.
Su demostración está basada en el principio del máximo de Aleksandrov, donde la convexidad juega un rol preponderante y no es adaptable a ecuaciones elípticas degeneradas.
Veremos ideas para demostrar la densidad crítica usando solo el principio de comparación. Construiremos ejemplos en casos particulares.
Referencias
[1] L.A Caffarelli y X. Cabre, Fully Nonlinear Elliptic Equations, AMS Colloquium Publications, Vol. 43.
[2] Cristian E. Gutiérrez, The Monge-Ampére Equation, Birkhäuser
[3] D. Gilbarg y N.S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer, (2001).
[4] L.A Caffarelli y L. Silvestre, Regularity theory for fully nonlinear integro-differential equations, Comm. on Pure and Applied Math, Vol. LXII, (2009).
[5] C. Gutierrez y F. Tournier, Harnack Inequality for a Degenerate Elliptic Equation, Communications in Partial Differential Equations, (2011).