Sesión Álgebra, Teoría de Números y TopologíaDominios principales no euclídeos: una versión ``aritmética''
Nicolás Allo Gómez
Universidad de Buenos Aires, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
La importancia que tienen los dominios de factorización única (DFU) a la hora de resolver ecuaciones es ampliamente conocida. Una de las implicaciones básicas al respecto es que todo dominio principal es un DFU, y también que todo dominio euclídeo (es decir, un dominio con algoritmo de división) es un dominio principal. No obstante, ninguna de estas implicaciones es una equivalencia.
Recientemente dimos una familia de ejemplos de dominios principales no euclídeos al demostrar el siguiente Teorema:
Si $(F, \lt ) $ es un cuerpo ordenado y $a \in F $ es un elemento positivo, entonces el anillo $F[X,Y]/(X^2 + Y^2 + a)$ es un dominio principal que no es euclídeo.
Se puede demostrar que al cambiar el cuerpo $F$ donde se consideran los coeficientes por otro cuerpo $F'$ no isomorfo a $F$ se obtienen ejemplos de anillos no isomorfos. Sin embargo, fijado el cuerpo $F$, ¿qué ocurre al modificar el coeficiente independiente $a$ del polinomio $X^2 + Y^2 + a$?
En esta comunicación nos concentraremos en el caso $F = \mathbb{Q}$ con el orden usual y una versión ``aritmética'' de los ejemplos al abordar la siguiente pregunta: si $a,b \in \mathbb{N}$ con $a \neq b$, ¿cuándo podemos asegurar que los anillos $\mathbb{Q}[X,Y]/(X^2 + Y^2 + a)$ y $\mathbb{Q}[X,Y]/(X^2 + Y^2 + b)$ no son isomorfos? Exhibiremos aquí una familia infinita de valores para los cuales tales anillos resultan no isomorfos.
Trabajo en conjunto con: Juan Sabia (Ciclo Básico Común, Universidad de Buenos Aires e IMAS CONICET-UBA)..