Sesión Análisis armónico, real y teoría de aproximaciónPropiedades cuantitativas y asintóticas de la mejor aproximación extendida en espacios de Lorentz-Gamma $\Gamma_{w,q}$ para $q \in (0,1]$
María Inés Gareis
Universidad Nacional de La Pampa, Facultad de Ingeniería, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Los operadores de mejor aproximación polinomial extendidos han demostrado ser herramientas fundamentales en el análisis funcional, ya que permiten recuperar propiedades estructurales y diferenciales de las funciones a partir de sus mejores aproximantes. Mientras su estudio ha sido desarrollado ampliamente en espacios de Lebesgue, Orlicz y Orlicz--Lorentz [1,4,5], el análisis correspondiente en espacios de Lorentz--Gamma [2,3] permanece inexplorado. En este trabajo abordamos el operador de mejor aproximación polinomial extendido [6], definido en el espacio $\Gamma_0$ (el conjunto de funciones medibles cuyo promedio integral de la función reordenada decreciente es finito casi en todas partes), y estudiamos su comportamiento en los espacios $\Gamma_{w,q}$ para todo \( 0 \lt q \le 1 \). Mostramos desigualdades ponderadas que establecen cotas explícitas para su norma, y verificamos que las mejores aproximaciones extendidas desde $\Gamma_0$ resultan casi óptimas en $\Gamma_{w,q}$. Más precisamente, probamos que si $f \in \Gamma_{w,q}$ y $B \subseteq (0,\alpha)$ es un conjunto medible con medida positiva, entonces todo polinomio $g \in \overline{\mathcal{P}}^m_{w,1,B}(f)$ satisface \[\|g\,\chi_B\|_{L^\infty} \le C\, W_1(|B|)^{-\frac{1}{q}}\, \|f\,\chi_B\|_{\Gamma_{w,q}} \quad \text{y} \quad \|(f - g)\,\chi_B\|_{\Gamma_{w,q}} \le C'\, W_1(|B|)^{-\frac{1}{q}}\, \inf_{h \in \Pi^m} \|(f - h)\,\chi_B\|_{\Gamma_{w,q}}. \] Aquí, $W_1(s)=s\int_s^\alpha\frac{w(t)}{t}\,dt$, $\Pi^m$ denota el espacio de polinomios de grado menor o igual a $m$, y $\overline{\mathcal{P}}^m_{w,1,B}(f) \subset 2^{\Pi^m}$ representa el conjunto de mejores aproximaciones extendidas desde $\Gamma_0$ en el conjunto $B$. Las constantes $C$ y $C'$ dependen únicamente de $q$, $m$ y del peso $w$, pero no de la función $f$ ni de $B$. Además, analizamos el comportamiento asintótico de estas aproximaciones cuando el conjunto $B$ se contrae a un conjunto finito de puntos, y probamos que las sucesiones de mejores aproximaciones extendidas convergen hacia un polinomio de Hermite generalizado, lo que permite interpretar al operador extendido como un puente entre la aproximación global y la reconstrucción local. En conjunto, estos resultados completan el panorama teórico del operador $\overline{\mathcal{P}}^m_{w,1,B}$ en los espacios $\Gamma_{w,q}$, y refuerzan su utilidad como herramienta analítica en contextos con pesos singulares y estructura cuasi-Banach.
Este trabajo está parcialmente subvencionado por la Universidad Nacional de Río Cuarto (PPI 18/C614-2), Universidad Nacional de La Pampa, Facultad de Ingeniería (Resol. Nro. 203/23) y CONICET (PIP 112-202001-00694CO).
Trabajo en conjunto con: Federico D. Kovac (Universidad Nacional de La Pampa, Facultad de Ingeniería, Argentina), y Fabián E. Levis, Ludmila Zabala (Universidad Nacional de Río Cuarto, CONICET, FCEFQyN, Argentina).
Referencias
[1] Ferreyra, D.E., Gareis, M.I., Levis, F.E. Extended best polynomial approximation operator in Orlicz–Lorentz spaces. Math. Nachr. 295(7) (2022), 1292–1311.
[2] Calderón, A.P. Intermediate spaces and interpolation, the complex method. Studia Math. 24 (1964), 113–190.
[3] Ciesielski, M., Kamińska, A., Pluciennik, R. Gâteaux derivatives and their applications to approximation in Lorentz spaces $\Gamma_{p,w}$. Math. Nachr. 282(9) (2009), 1242–1264.
[4] Gareis, M.I., Kovac, F.D., Levis, F.E. Inequalities in Lorentz spaces for the extended best polynomial approximation operator. Bull. Sci. Math. (submitted, 2024).
[5] Kovac, F.D., Levis, Extended best approximation in $L^{p-1}$ is near best approximation in $L^q$ for $q \in [p-1,p)$. J. Approx. Theory 284 (2022) Article number: 105819.
[6] Kovac, F.D., Levis, F.E., Zabala, L. Best approximations and their extensions in Lorentz–Gamma spaces. J. Approx. Theory (available online, 2025).