Sesión Ecuaciones Diferenciales y aplicacionesRegularidad de un problema de frontera libre de tipo elíptico-parabólico
María Soria Carro
Universidad Autónoma de Madrid, España - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
En esta charla presentaremos un problema de frontera libre que modela el flujo de un fluido a través de un medio poroso parcialmente saturado. En la región saturada, este fenómeno está gobernado por una ecuación elíptica, mientras que en la región no saturada, por una ecuación parabólica. La frontera libre surge como la interfaz que separa estas dos regiones, las cuales son desconocidas a priori. La teoría general de existencia, unicidad y regularidad de soluciones para este tipo de problemas fue desarrollada en la década de 1980. Algunos de los trabajos más influyentes en el área son: Alt--Luckhaus [1], van Duyn--Peletier [3], Hulshof--Peletier [4], DiBenedetto--Gariepy [2] y Hulshof--Wolanski [5].
Una de las preguntas más interesantes es entender el comportamiento de la frontera libre, que está influenciado por la regularidad del dato de borde, debido al carácter no local del problema. Cuando el dato es suficientemente regular, se sabe que la frontera libre es continua, o incluso diferenciable, bajo ciertas condiciones iniciales. Sin embargo, si el dato presenta discontinuidades, estas pueden propagarse hacia el interior, afectando la regularidad tanto de la solución como de la interfaz. En [6], demostramos que, cuando el dato está simplemente acotado, la frontera libre es de clase $C^{1/2}$ y esta regularidad es óptima.
Trabajo en conjunto con: Dennis Kriventsov (Rutgers University).
Referencias
[1] H. W. Alt y S. Luckhaus. Quasilinear elliptic-parabolic differential equations. Math. Z. 183 (1983), no.3, 311-341.
[2] E. DiBenedetto y R. Gariepy. Local behavior of solutions of an elliptic-parabolic equation. Arch. Rational Mech. Anal. 97 (1987), no.1, 1-17.
[3] C. J. van Duyn y L. A. Peletier. Nonstationary filtration in partially saturated porous media. Arch. Rational Mech. Anal. 78 (1982), no.~2, 173-198.
[4] J. Hulshof y L. A. Peletier. An elliptic-parabolic free boundary problem. Nonlinear Anal. 10 (1986), no.12, 1327-1346.
[5] J. Hulshof y N. Wolanski. Monotone flows in N-dimensional partially saturated porous media: Lipschitz-continuity of the interface. Arch. Rational Mech. Anal. 102 (1988), no.4, 287-305.
[6] D. Kriventsov y M. Soria-Carro. An elliptic-parabolic free boundary problem with discontinuous data. arXiv:2508.13299 (2025).