Sesión Álgebra, Teoría de Números y TopologíaSobre el Teorema de Pourchet efectivo
Carlos D'Andrea
Universitat de Barcelona, España - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
En $1971$, Y. Pourchet demostró en [2] que todo polinomio $f(x)\in\mathbb{Q}[x]$ tal que $f(x) \gt 0\, \forall x\in\mathbb{R},$ se puede expresar como la suma de hasta $5$ cuadrados de polinomios en $\mathbb{Q}[x],$ y que ese número es óptimo, en el sentido de que hay polinomios positivos que no son suma de $4$ cuadrados.
La demostración original utiliza fuertemente el principio local-global para formas cuadráticas $p$-ádicas, lo cual hace casi imposible de conseguir una versión computacional/algorítmica del mismo siguiendo los pasos del trabajo hecho por Pourchet.
Recientemente, un algoritmo fue propuesto en [1] para descomponer un polinomio racional positivo como suma de hasta $6$ cuadrados, con la conjetura de que en realidad siempre consigue $5$, la cual resolvería completamente el problema de Pourchet de manera efectiva.
En este trabajo, mostramos que el algoritmo propuesto no siempre funciona, y utilizando el Lemma de Hensel $p$-ádico conseguimos extender su validez a varios casos más de los ya comprobados en [1].
Trabajo en conjunto con: Teresa Cortadellas (Universitat Pompeu-Fabra), Ana Belén de Felipe (Universitat Politécnica de Catalunya), Joel Hurtado Moreno (Universitat de Barcelona) y Eulàlia Montoro (Universitat de Barcelona).
Referencias
[1] Magron, Victor; Koprowski, Przemyslaw; Vaccon, Tristan. Pourchet's theorem in action: decomposing univariate nonnegative polynomials as sums of five squares. Proceedings of the International Symposium on Symbolic & Algebraic Computation (ISSAC 2023), 425-433, ACM, New York, 2023.
[2] Pourchet, Y. Sur la représentation en somme de carrés des polynômes à une indéterminée sur un corps de nombres algébriques. Acta Arith. 19 (1971), 89-104.