Sesión Aplicaciones de la Matemática y Física MatemáticaEstimación de un parámetro del Modelo de Cole mediante un Controlador Fraccionario
Natalia Yudit Bravo
Universidad Nacional de Tierra del Fuego AeIAS, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Un sistema biológico se puede caracterizar mediante sus propiedades eléctricas a partir de mediciones de bioimpedancia. El modelo de Cole está representado por 4 parámetros numéricos; posibilitando ajustar las mediciones experimentales con el modelo representado en la Ecuación (1). En este modelo adaptado a variables eléctricas -Ecuación (1)- los 4 parámetros son $R_{\infty}$ (resistencia a frecuencia infinita), $R_0$ (resistencia a frecuencia cero), $\tau$ (constante de tiempo adimensional) y $\alpha$ (exponente adimensional con posibles valores entre 0 y 1) [1].
\[Z(\omega)=R_{\infty}+\frac{R_0-R_{\infty}}{1+(j\omega \tau)^{\alpha}}\]
En trabajos anteriores hemos expuesto que la estimación del parámetro $\tau$ -al aplicar el Modelo de Cole a más de un centenar de sets de datos experimentales [2]- presenta la mayor desviación estandar en comparación con otros otros parámetros característicos en todos los métodos de ajuste analizados [3], lo que motiva la búsqueda de estrategias alternativas para su estimación.
La teoría de control se basa en el análisis de sistemas dinámicos representados por sistemas de ecuaciones diferenciales [4]. En este contexto, el cálculo fraccionario expande el poder descriptivo del sistema haciendo uso de ecuaciones diferenciales de orden no entero [5]. Los controladores que utilizan las herramientas del cálculo fraccionario se denominan controladores fraccionarios.
En este trabajo se propone el uso de un controlador fraccionario para optimizar la estimación del parámetro $\tau$ a partir de los datos experimentales [2]. La implementación se realizó en MATLAB utilizando la toolbox Ninteger [6], que permite representar funciones de transferencia de orden no entero. Se empleó la aproximación CRONE (Commande Robuste d’Ordre Non Entier) de primera generación, identificando a $s$ igual a $j\omega$. El procedimiento parte de un valor inicial $k=\tau^{\alpha}$, donde $\tau$ y $\alpha$ son obtenidos a partir del ajuste por los métodos presentados en el trabajo anterior [3]. Este valor se optimiza mediante la función fminsearch de Matlab que minimiza el error entre la respuesta en frecuencia del modelo ajustado y los datos experimentales. La función $crone1(k, v, \omega_l, \omega_h, N)$ es utilizada para construir la función fraccionaria $Z(s)$, donde el orden fraccionario $v=\alpha$ se mantiene fijo. Esta función devuelve una aproximación racional de $s$ expresada como una función de transferencia. Esta función de transferencia luego es evaluada en el dominio de la frecuencia utilizando la función de Matlab freqresp, lo que permite obtener un vector del espectro de impedancia ajustado a partir del set de datos que se le brinda como vector de entrada. A partir de esto, con el valor óptimo de $k$, se obtiene una estimación del parámetro $\tau$.
Los resultados muestran una reducción significativa en el error estándar de estimación respecto a los métodos comparados en el trabajo anterior [3], por lo que se concluye que la implementación de un controlador fraccionario para la estimación de $\tau$ optimiza los resultados alcanzados previamente y también aporta una herramienta robusta para la caracterización precisa de sistemas biológicos mediante bioimpedancia a partir de la reducción del desvío estándar de los valores de $\tau$ “optimizado”.
Trabajo en conjunto con: Antonio Hector Dell'Osa (Universidad Nacional de Tierra del Fuego AeIAS, Argentina).
Referencias
[1] Cole K. S. (1940). Permeability and impermeability of cell membranes for ions”. Cold Spring Harb. Symp. Quant. Biol, vol. 8, pp. 110-122. doi:10.1109/IEMBS.2009.5334494
[2] A. H. Dell'Osa, N. Y. Bravo, and T. Villanueva Jousset, “Single dispersion EIS measurements: a compilation,” Zenodo, 2025. [Online]. Available: https://doi.org/10.5281/zenodo.15795175
[3] Bravo, N. Y., Domínguez, A., Villanueva, T., Prisching, G. y Dell’Osa, A. H. (2024). Cole’s Model: A Comparative Study of Curve Fitting Methods, in V Latin American Conf. on Bioimpedance (CLABIO 2024). P. Bertemes-Filho, Ed., IFMBE Proc., vol. 124. Cham, Switzerland: Springer, 2025.
[4] Katsuhiko Ogata (2010). Ingeniería de control moderna. Quinta edición. Instituto Tecnológico de Aguascalientes. Pearson Educación, S.A., Madrid, España.
[5] Vázquez, L y Velasco M. P. (2011). El cálculo fraccionario como instrumento de modelización. Publicaciones del Departamento de Matemática Aplicada. Universidad Complutense de Madrid, España.
[6] Valério, D. y Sá Da Costa, J. (2004a). Ninteger: A Non-Integer Control Toolbox for MATLAB. En: Proccedings of the First IFAC Workshop on Fractional Differentiation and Applications, Bordeaux, France, pp. 208-213.