Sesión Lógica y ComputabilidadLógicas modales coalgebraicas de rango finito para sistemas dinámicos
Andrés Gallardo
INMABB (CONICET), Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Sea la categoría $\mathsf{Unc}$ de espacios de incertidumbre [1], y la clase de endofuntores que es cerrada bajo productos, coproductos, y composiciones con los funtores $\Delta$, $\Delta^*$, $\Delta_{Pl}$, $\Delta_{Ps}$, que representan distintas medidas de incertidumbre (probabilidad, probabilidad superior, plausibilidad y posibilidad respectivamente). Un funtor de esta clase se denomina polinomial. En un trabajo previo [3], y siguiendo a [2], definimos lógicas modales coalgebraicas para funtores polinomiales en $\mathsf{Unc}$, y demostramos la completitud de las mismas con respecto a una clase de sistemas deductivos que cumplen la propiedad de Lindenbaum.
Estas lógicas sirven para modelar diversos sistemas dinámicos, como marcos de Kripke, marcos probabilísticos, autómatas y sistemas de transición etiquetados. Sin embargo, son infinitarias, no compactas, y la propiedad de Lindenbaum debe añadirse como hipótesis. Para una subclase de funtores que solo sean cerradas bajo productos, coproductos, $\Delta$ y $\Delta^*$, hemos comunicado resultados de completitud en la UMA de 2022. Siguiendo este trabajo, en esta comunicación presentamos una versión de estas lógicas usando los funtores $\Delta_m$ y $\Delta^*_m$. Por ejemplo, partiendo de un espacio de incertidumbre $(X,\Sigma)$, obtenemos el espacio $(\Delta^*_mX,\Delta^*_m\Sigma)$ de medidas de probabilidad superiores definidas sobre $X$ que toman valores en un conjunto finito $I_m=\{0,\frac{1}{m},\ldots,\frac{m-1}{m},1\}$. Se obtienen así lógicas con reglas de deducción finitarias, y compactas. Definimos una clase de sistemas deductivos estilo Hilbert, y probamos que tienen la propiedad de Lindenbaum. Construimos la coálgebra canónica, y damos una demostración de completitud.
Referencias
[1] Stefano Baratella. An infinitary propositional probability logic. Archive for Mathematical Logic, 2022.
[2] Robert Goldblatt. Deduction systems for coalgebras over measurable spaces. J. Logic Comput., 20(5):1069 – 1100, 2010.
[3] Andrés Gallardo and Ignacio Viglizzo. Coalgebraic modal logic for dynamic systems with uncertainty. 2024.