Sesión Ecuaciones Diferenciales y aplicacionesConstantes periódicas e isocronía de centros: un enfoque frecuencial
Cinthya Anabel Bares
Instituto de Inv. en Ing. Eléctrica IIIE (UNS-CONICET)-Depto. de Matemática, UNS, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
El comportamiento de sistemas dinámicos no lineales en las cercanías de una bifurcación de Hopf se puede caracterizar con expresiones explícitas para los coeficientes de estabilidad (también conocidos como constantes de Lyapunov) y las constantes periódicas. Existe una fuerte relación entre las constantes periódicas y los coeficientes frecuenciales [1], propiedad que se utiliza para determinar las condiciones de isocronía en centros ([2] y [3]).
En este trabajo se utiliza un método en frecuencia inspirado en la teoría de control, aplicando el algoritmo propuesto en [4] para obtener las expresiones explícitas de los coeficientes frecuenciales. Estos resultados constituyen el primer paso para identificar las condiciones bajo las cuales estos coeficientes se anulan, y a la vez anulan las constantes periódicas, lo que permite caracterizar a los centros como isocrónicos. Como ejemplo principal, se considera el sistema de Loud ([2] y [5]): \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ll} \dot{x}= -y +Bxy, \\ \dot{y}= x+D x^2+F y^2, \end{array} \right. \end{equation*} el cual es un caso particular del sistema clásico de Bautin. En [2] se analiza cómo ciertos pares de parámetros o puntos $(D,F)$ determinan centros isócronos, mientras que otros definen los denominados puntos de Loud (indicados como $L_1$, $L_2$ y $L_3$ más adelante). La distinción entre estos puntos $L_1=\left( -\frac{3}{2},\frac{5}{2}\right)$, $L_2=\left( \frac{-11+\sqrt{105}}{20},\frac{15-\sqrt{105}}{20}\right)$, $L_3=\left( \frac{-11-\sqrt{105}}{20},\frac{15+\sqrt{105}}{20}\right)$ y los puntos $I_1=(0,1)$, $I_2=\left( -\frac{1}{2},2\right)$, $I_3=\left( 0,\frac{1}{4}\right)$, $I_4=\left( -\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ radica en su papel en la estructura del sistema y su relación con las constantes periódicas. Por un lado, los puntos $L_i$, $1\leq i\leq3$ , corresponden a casos donde solo se anulan las dos primeras constantes periódicas, dando lugar a centros débiles de orden dos. Por otra parte los $I_j$, $1\leq j\leq4$ , representan casos donde se anulan las tres primeras constantes periódicas, lo que caracteriza centros isócronos.
Resulta interesante observar que utilizando el método en frecuencia también se pueden obtener expresiones equivalentes que conducen a los mismos puntos mencionados, caracterizando de igual forma el comportamiento de la bifurcación. Estos resultados no solo reafirman la potencia del enfoque frecuencial para el estudio de centros y bifurcaciones de Hopf, sino que también revelan con notable claridad la estructura subyacente del sistema. La correspondencia entre los coeficientes frecuenciales y las constantes periódicas ofrece una vía precisa para explorar fenómenos sutiles como la isocronía, abriendo nuevas perspectivas en la comprensión cualitativa de la dinámica no lineal.
Trabajo en conjunto con: Jorge L. Moiola (Instituto de Inv. en Ing. Eléctrica IIIE (UNS-CONICET)-Depto. de Ing. Eléctrica y de Computadoras, UNS) y Guillermo L. Calandrini (Instituto de Inv. en Ing. Eléctrica IIIE (UNS-CONICET)-Depto. de Ing. Eléctrica y de Computadoras, UNS).
Referencias
[1] C. Bares, F. Gentile, J. Moiola, y G. Calandrini, Period constants and Hopf bifurcation, Int. J. of Bifurcation and Chaos, en imprenta, Julio 2025.
[2] C. Chicone, y M. Jacobs, Bifurcation of critical periods for plane vector fields, Transactions of the American Mathematical Society, 312, no. 2, pp. 433-486, 1989.
[3] A. Gasull, A. Guillamon, y V. Mañosa, An explicit expression of the first Lyapunov and period constants with applications, Journal of Math. Analysis and Appls., 211, pp. 190-212, 1997.
[4] A. Mees, y L. Chua, The Hopf bifurcation theorem and its applications to nonlinear oscillations in circuits and systems, IEEE Trans. on Circuits and Systems, 26, no. 4, pp. 235-254, 1979.
[5] P. Mardešić, D. Marín, y J. Villadelprat, The period function of reversible quadratic centers, Journal Differential Equations, 224, pp. 120-171, 2006.