Sesión Aplicaciones de la Matemática y Física Matemática

Estudio de las órbitas periódicas de un péndulo rotante por el método de continuación de Leray-Schauder y teoría de la bifurcación

Samir Safadi

Universidad Nacional de Río Cuarto, Argentina   -   Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.

El estudio de los sistemas dinámicos no lineales constituye un tema de gran interés en física teórica y matemática. En particular, la búsqueda de soluciones periódicas a los problemas de contorno que describen el comportamiento de estos sistemas es un objeto de estudio tradicional en estas áreas. En este trabajo se propone estudiar las soluciones periódicas del péndulo rotante, un problema que puede ser abordado con la teoría debida a Leray y Schauder [1] para la continuación global de los ceros de una función, así como la teoría de la bifurcación [2].

La teoría de continuaciones constituye una herramienta útil en este sentido porque, a menudo, el problema de hallar soluciones periódicas de un problema de contorno no lineal puede ser reformulado como el problema de estudiar el conjunto de ceros de cierta función. En el presente trabajo se demostró una tal equivalencia, reformulando nuestro problema original como el problema de hallar el conjunto de ceros $\mathcal{Z}$ de una $F(\xi,a)$, dependiente de los parámetros de amplitud de rotación $a\in \mathbb{R}^+$ y posición inicial $\xi\in[-\pi,\pi]$, siendo conocida la existencia de un conjunto solución para $a=0$ (caso del péndulo simple, para el cual toda solución es periódica). La teoría mencionada afirma que, bajo ciertas hipótesis sobre este conjunto $\mathcal{Z}$, fuertemente ligadas a los índices de Brouwer de sus elementos, estos pueden ser continuados en un sentido preciso a valores no nulos de $a$. Se demostró que el conjunto de interés cumple las hipótesis del teorema. Esto permite continuar las soluciones conocidas del péndulo simple al caso más general del péndulo rotante sobre un cierto dominio en el plano $\xi-a$. También se estudió las posibles colisiones de estas familias de soluciones con el continuo trivial en $\xi=0$.

En una segunda instancia, se estudió las bifurcaciones desde dicho continuo trivial en $\xi=0$, que representa un equilibrio estable del sistema. Los puntos de bifurcación de la ecuación $F(\xi,a)$ resultan estar asociados a los autovalores de un problema de Sturm-Liouville y fueron calculados numéricamente con un método de shooting. La imparidad de $F_N$ como función de $\xi$ sugiere la presencia de bifurcaciones tipo Pitchfork en estos puntos, y en la búsqueda de las mismas se halló una posible falla de una de las condiciones de transversalidad que las define. Sin embargo se logró construir una variante más general de la bifurcación tipo Pitchfork y probar que la ecuación presenta bifurcaciones de este tipo. Por otra parte, se demostró que no bifurcan soluciones desde las rectas $\xi=\pm\pi$, que representan los equilibrios inestables.

Se obtuvo numéricamente el diagrama de bifurcación para distintos períodos, que constituye la familia de curvas que identificamos con las soluciones periódicas de interés. Estas no son sino las curvas de nivel cero de la función $F=F(\xi,a)$, y se graficaron usando un script de Python que permite la integración numérica en paralelo de la ecuación de movimiento sobre una malla de valores para los parámetros $\xi$ y $a$. Los continuos que emanan del conjunto de ceros sobre la recta $a=0$ evidencian la continuación predicha por el teorema de Leray-Schauder. También se observan las ramas no triviales que bifurcan del continuo $\xi=0$ desde los puntos de bifurcación predichos, así como la ausencia de colisiones con los continuos $\xi=\pm\pi$.

Trabajo en conjunto con: Fernando Mazzone (Universidad Nacional de Río Cuarto).

Referencias

[1] Ambrosetti, A., Arcoya, D. An Introduction to Nonlinear Functional Analysis and Elliptic Problems, Birkhäuser, 2011.

[2] Rivera Acevedo, A. M. et al. Bifurcación de soluciones periódicas en el problema de Sitnikov. Universidad de Granada, 2012.

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