Sesión Geometría y Teoría de LieLa condición Lefschetz en solvariedades casi abelianas.
Agustín Garrone
CIEM - UNC - CONICET, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Informalmente hablando, se dice que una variedad simpléctica compacta $(M, \omega)$ satisface la condición Lefschetz si, para cierta noción de armonicidad de formas diferenciales en $M$ definida únicamente a partir de $\omega$, toda clase de cohomología de de Rham en $M$ admite un representante $\omega$-armónico. Son, por lo tanto, variedades simplécticas en las que se puede desarrollar una teoría de Hodge análoga a la que existe en el caso de variedades Kähler compactas. Dado que se trata de una propiedad muy restrictiva, los ejemplos explícitos son escasos, y más aún los criterios algebraicos sencillos para determinar cuándo una variedad simpléctica compacta la satisface.
En esta charla se discute la condición Lefschetz en el contexto de solvariedades compactas; es decir, cocientes de la forma $G/\Gamma$, donde $G$ es un grupo de Lie soluble simplemente conexo y $\Gamma \subset G$ es un un subgrupo discreto y co-compacto. Se presta especial atención al caso en que $G$ es isomorfo a un producto semidirecto $\mathbb{R} \ltimes_{\phi} \mathbb{R}^{2n-1}$, en cuyo caso se lo denomina grupo casi abeliano. En esta situación, la estructura de $G$ queda esencialmente determinada por la matriz $A$ que corresponde con la diferencial de la acción $\phi$ en $t = 0$.
Combinando resultados conocidos con aportes originales, se obtienen las siguientes dos caracterizaciones (enunciadas de forma aproximada): Bajo condiciones no muy restrictivas sobre $G$ y $\Gamma$, la variedad $G/\Gamma$ satisface la condición Lefschetz si y sólo si la matriz $A$ es semisimple, sin importar qué forma simpléctica se considere; en el caso general, pero restringiéndose al estudio de formas simplécticas invariantes, la condición Lefschetz se cumple si y sólo si $A$ es semisimple.
Si el tiempo lo permite, se mencionarán también algunas conjeturas y preguntas abiertas.
Trabajo en conjunto con: Adrián Andrada (Universidad Nacional de Córdoba - CONICET, Argentina).