Sesión Aplicaciones de la Matemática y Física MatemáticaImplementación de la Distancia de Wasserstein en medidas wavelet para la comparación de señales electrocardiográficas
Gisela Vanesa Clemente
CMaLP (Centro de Matemática de La Plata), CONICET, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
En este trabajo se propone un enfoque alternativo para comparar señales electrocardiográficas (ECG) mediante el uso de la distancia de Wasserstein [1, 2], entre medidas de probabilidad construidas a partir de coeficientes wavelet. A diferencia de propuestas previas basadas en la energía relativa por escala y la entropía de Shannon, como las desarrolladas en [3], aquí se introduce una construcción que preserva información multirresolutiva tanto en tiempo como en frecuencia.
Sea $s(t) \in L^2(\mathbb{R})$ una señal de interés, por ejemplo un complejo QRS [4] extraído del ECG, y consideramos un sistema wavelet $\{\psi_{j,k}\}_{j,k}$ con $j$ y $k$ los parámetros de escala y traslación respectivamente, a partir de una wavelet madre $\psi$ bien localizada; generando una medida de probabilidad $\mu_{s}$ sobre $\mathbb{R}$ mediante la densidad por niveles:
\[ \rho_{s(t)} = \sum_{j=1}^{J} \sum_{k=1}^{K} |c_{j,k}|^2 \, \frac{\chi_{j,k}}{|I_{j,k}|}, \]
donde $c_{j,k} = \langle s, \psi_{j,k} \rangle$, $\chi_{j,k}$ es la función característica del soporte $I_{j,k}$ de $\psi_{j,k}$, y $|I_{j,k}|$ su medida de Lebesgue. La construcción resulta en una medida absolutamente continua respecto de la medida de Lebesgue.
Una vez definidas las medidas $\mu_{s}$ para señales reales y $\mu_{u}$ para una señal uniforme $u(t)$ (por ejemplo, constante o de referencia), se cuantifica la distancia entre ellas mediante la métrica de Wasserstein de orden $p \in [1, \infty)$:
\[ W_{p}(\mu_s, \mu_u) = \left( \int_0^1 \left| F_{\mu_s}^{-1}(\alpha) - F_{\mu_u}^{-1}(\alpha) \right|^p d\alpha \right)^{1/p}, \] donde $F_{\mu}^{-1}$ denota la función inversa de distribución (función cuantil) generalizada de $\mu$.
Este enfoque permite incorporar la geometría subyacente de la señal en el análisis y utilizar herramientas de transporte óptimo, como sugiere Panaretos and Zemel [5]. De esta forma, aplicamos esta metodología al análisis de señales del ECG de bases públicas, como PTB y PTB XL analizadas previamente, comparando grupos de sujetos sanos con pacientes post-infarto en distintas fases, así como con pacientes con cardiomiopatía chagásica, en bases de datos como Code15 y Samitrop. Se evalúa si la distancia $W_p(\mu_s, \mu_u)$ discrimina estadísticamente entre grupos, complementando índices previamente utilizados como los basados en la entropía wavelet normalizada $H$ y en la complejidad estadística $C$ [3].
Finalmente, discutimos cómo esta medida inducida puede modularse según la elección de la wavelet madre, evaluando la dispersión de los coeficientes en términos de coherencia (medidas $C_1(\psi)$ y $C_\infty(\psi)$) y proponiendo criterios para seleccionar funciones $\psi$ que generen representaciones más eficientes y robustas frente a la variabilidad interpaciente.
Trabajo en conjunto con: Mariano Llamedo Soria (Departamento de Ingeniería Electrónica, Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Buenos Aires, Argentina), Leandro Andrini (CMaLP-Centro de Matemática de La Plata, CONICET, Buenos Aires, Argentina) y Pedro Massey (IAM-Instituto Argentino de Matemática Alberto P. Calderón, CONICET, Buenos Aires, Argentina).
Referencias
[1] M. Sommerfeld and A. Munk, “Inference for empirical Wasserstein distances on finite spaces”, arXiv preprint, arXiv:1610.03287v2 [stat.ME], 2017. DOI:10.48550/arXiv.1610.03287.
[2] J. Wiesel, “Measuring association with Wasserstein distances”, arXiv preprint, arXiv:2102.00356 [stat.ME], 2021. DOI:10.48550/arXiv.2102.00356.
[3] E. R. Valverde, G. V. Clemente, P. D. Arini, Victoria Vampa, “Wavelet-based entropy and complexity to identify cardiac electrical instability in patients post myocardial infarction”, Biomedical Signal Processing and Control, vol. 69, 2021. DOI:10.1016/j.bspc.2021.102846.
[4] L. Sörnmo and P. Laguna, “Bioelectrical Signal Processing in Cardiac and Neurological Applications”, Elsevier Academic Press, 2005. ISBN: 0-12-437552-9.
[5] V. M. Panaretos and Y. Zemel, “Statistical aspects of Wasserstein distances”, Annual Review of Statistics and Its Application, vol. 6, pp. 405–431, 2019. DOI: 10.1146/annurev-statistics-030718-104938.