Sesión Geometría y Teoría de Lie(No) existencia de estructuras hipercomplejas en grupos lineales especiales
Alejandro Tolcachier
Universidad Nacional de Córdoba, CIEM-CONICET, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Las variedades hipercomplejas pueden pensarse como la versión análoga de las variedades complejas en el mundo cuaterniónico: son variedades diferenciables munidas de una estructura hipercompleja (EHC), esto es, una terna de estructuras complejas $\{J_1, J_2, J_3\}$ que satisfacen la multiplicación de los cuaterniones: $J_1 J_2=-J_2 J_1=J_3$. Una tal variedad debe ser necesariamente $4n$-dimensional, para algún $n\in\mathbb{N}$.
M. Obata demostró en 1955 que toda variedad hipercompleja admite una única conexión libre de torsión $\nabla^{\operatorname{Ob}}$ tal que $\nabla^{\operatorname{Ob}} J_\alpha=0$ para $\alpha=1,2,3$. En consecuencia esta conexión es llamada \textit{conexión de Obata} y además satisface que su grupo de holonomía es un subgrupo de $\operatorname{GL}(n,\mathbb{H})$.
Una fuente importante de ejemplos de variedades hipercomplejas está dada por los grupos de Lie compactos. En efecto, Joyce probó en 1992 que para todo grupo de Lie compacto $G$ existe un número entero $k$ con $0\leq k\leq \operatorname{rango}(G)$ tal que $G\times \mathbb{T}^{k}$ admite una estructura hipercompleja invariante a izquierda. En el caso no compacto, existen muchos resultados sobre EHCs en grupos de Lie solubles y nilpotentes.
En esta charla estudiaremos la existencia de estructuras hipercomplejas cuando $G=\operatorname{SL}(2n+1,\mathbb{K})$, $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$. En particular, mostraremos que $\operatorname{SL}(3,\mathbb{R})$ no admite ninguna EHC invariante a izquierda, usando la clasificación de estructuras complejas invariantes a izquierda en $\operatorname{SL}(3,\mathbb{R})$ dada por T. Sasaki en 1982. Por otro lado, veremos que $\operatorname{SL}(2n+1,\mathbb{C})$ sí admite una EHC invariante a izquierda para todo $n\in\mathbb{N}$. Además, determinaremos explicítamente su grupo de holonomía con respecto a la conexión de Obata, el cual provee un nuevo ejemplo de un tal grupo, puesto que satisface ser un subgrupo propio de $\operatorname{GL}(m,\mathbb{H})$ que no está contenido en $\operatorname{SL}(m,\mathbb{H})$, donde $4m=\dim_{\mathbb{R}} \operatorname{SL}(2n+1,\mathbb{C})$.
Trabajo en conjunto con: Adrián Andrada y Agustín Garrone (Universidad Nacional de Córdoba, CIEM-CONICET)..