Sesión Ecuaciones Diferenciales y aplicacionesEcuación de Hamilton-Jacobi-Bellman en la Optimización de Dividendos bajo Riesgo de Catástrofes Naturales
Nora Muler
Universidad Torcuato Di Tella, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
En esta comunicación se analiza un problema de optimización estocástica que conduce al estudio de soluciones viscosas de la ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) correspondiente. La motivación proviene de un modelo para la maximización del pago de dividendos en una compañía de seguros expuesta al riesgo de catástrofes naturales. En ausencia de pagos de dividendos, la dinámica de la reserva de la compañía se modela mediante un proceso con pendiente positiva y con saltos descendentes de tamaño aleatorio que corresponden a los reclamos de los clientes. A diferencia del enfoque clásico -que no incorpora el riesgo de catástrofes naturales y asume una intensidad de reclamos constante en la llegada de saltos, modelada mediante un proceso de Poisson homogéneo-, en este trabajo se considera una intensidad aleatoria, que aumenta con la llegada de una catástrofe, modelada por un proceso shot-noise, como el estudiado en [2]. Este enfoque da lugar a un proceso de Poisson no homogéneo, que captura de manera más realista la influencia de los eventos catastróficos, así como la forma en que su impacto disminuye gradualmente con el tiempo.
La función objetivo busca maximizar el valor esperado de los dividendos descontados hasta la ruina (criterio de De Finetti). Las variables de estado relevantes son dos: el nivel de la reserva y la intensidad de llegada de los saltos, ambos evaluados en el tiempo t. Se demuestra que la función de valor óptima de este problema de control estocástico bidimensional es la menor super-solución viscosa de la ecuación de HJB correspondiente. Esta ecuación incluye un mínimo entre un operador integro-diferencial y un operador lineal, lo cual conduce a un problema de frontera libre. Finalmente, se demuestra que la función de valor óptima puede aproximarse uniformemente mediante un esquema numérico construido a partir de estrategias admisibles definidas sobre una malla. El enfoque se ilustra mediante ejemplos que consideran distintas distribuciones del tamaño de los saltos. En estos casos, se observa que la frontera libre entre las regiones puede estar compuesta por una o varias curvas, dependiendo de la forma de la distribución de los saltos considerada.
Asimismo, se considera la posibilidad de cambios de régimen motivados por escenarios de cambio climático que alcanzan puntos críticos . Esto significa que ciertas perturbaciones puede desencadenar un cambio abrupto irreversible en el sistema climático global. Para estudiar este problema, se resuelve un problema de control por cada régimen, siguiendo un esquema iterativo hacia atrás, partiendo del régimen final. Este trabajo es una continuación de [1].
Trabajo en conjunto con: Hansjoerg Albrecher (University of Lausanne) y Pablo Azcue (Universidad Torcuato Di Tella).
Referencias
[1] Albrecher H., Azcue P. and Muler N. (2024). Optimal dividend strategies for a catastrophe insurer. Frontiers of Mathematical Finance, 3(2): 304-344.
[2] Dassios, A., and Jang, J.W. (2003). Pricing of catastrophe reinsurance and derivatives using the Cox process with shot noise intensity. Finance Stochastics 7, 73--95.