Sesión Análisis Numérico y OptimizaciónAproximación numérica del $p$-Laplaciano fraccionario mediante elementos finitos
José Camilo Rueda Niño
Universidad de la República, Uruguay - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Esta charla mostraremos un acercamiento numérico del operador $p$-Laplaciano fraccionario, que surge en la interpolación compleja de espacios de Sobolev [1]. En términos generales, el problema se formula del siguiente modo: dado un dominio $\Omega \subset \mathbb{R}^{N}$ y $p \in (1, \infty)$, buscamos encontrar una función $u \in V$ tal que: \[ \begin{aligned} -\Delta^{s}_{p} u &= f \quad &\text{en } \Omega, \\ u &= 0 \quad &\text{en } \Omega^{c}, \end{aligned} \] donde $\Delta^{s}_{p} u := \operatorname{div}_{s}\left(|\nabla^{s} u|^{p-2} \nabla^{s} u\right)$. Cuando $p=2$, este operador coincide con el Laplaciano fraccionario usual; sin embargo, para $p \neq 2$, difiere del $(p,s)$-Laplaciano obtenido mediante interpolación real entre espacios de Sobolev. Presentamos un método de descomposición-coordenada, basados en Savaré [2], que utiliza una formulación de Lagrangiano aumentado para calcular las soluciones y sus gradientes fraccionarios. Adicionalmente, mostraremos un análisis de la convergencia del método y su implementación numérica.
Trabajo en conjunto con: Juan Pablo Borthagaray (Universidad de la República, Uruguay) y Leandro Del Pezzo (Universidad de la República, Uruguay).
Referencias
[1] Shieh, T. T., & Spector, D. E. (2015). On a new class of fractional partial differential equations. Advances in Calculus of Variations, 8(4), 321-336.
[2] Glowinski, R., & Marroco, A. (1975). Sur l'approximation, par éléments finis d'ordre un, et la résolution, par pénalisation-dualité d'une classe de problèmes de Dirichlet non linéaires. Revue française d'automatique, informatique, recherche opérationnelle. Analyse numérique, 9(R2), 41-76.