Sesión Aplicaciones de la Matemática y Física MatemáticaSobre un problema inverso en Transporte Óptimo
Delfina Aldana Correa
Instituto de Matemática Aplicada del Litoral "Dra. Eleonor Harboure" (UNL-CONICET), Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
La teoría de Transporte Óptimo (OT) ofrece un marco matemático adecuado para formalizar, modelizar y resolver diversos problemas de redistribución minimizando costos. Su utilización resulta fundamental en diversas áreas que van desde la logística y la economía hasta el aprendizaje automático y el procesamiento de imágenes. Existen esencialmente dos formas principales de plantear un problema de Transporte Óptimo: una es la formulación de Monge (1781), consistente en encontrar una asignación directa entre orígenes y destinos minimizando un costo prefijado; la otra es la formulación de Kantorovich (1942), la cual introduce una relajación sobre la formulación de Monge, mediante distribuciones de probabilidad, permitiendo soluciones más generales y aplicables a una mayor variedad de contextos ([3]).
A lo largo de la historia, el problema de OT ha generado numerosas investigaciones y desarrollos matemáticos. Sin embargo, los problemas inversos asociados al transporte Óptimo (IOT) son muy escasos y recientes. En este trabajo analizamos un problema de Transporte Óptimo inverso desde un enfoque basado en la teoría de estimación Bayesiana cuando el problema directo se plantea según la formulación de Kantorovich regularizada mediante entropía, que garantiza el buen condicionamiento del problema directo. El problema consiste en estimar los parámetros subyacentes de un problema de OT directo, es decir el costo y las distribuciones marginales, a partir de observaciones de planes de transporte óptimo asociados. En particular, para el caso discreto, caracterizamos el hiperplano de todas las matrices de costo asociadas a un mismo plan de transporte, lo que provee una fuerte conexión entre IOT y la geometría algebraica. Por último utilizamos un enfoque probabilístico Bayesiano para caracterizar las distribuciones condicionales de las matrices de costos dado un acoplamiento óptimo y presentaremos algunos ejemplos numéricos de estimación utilizando Metropolis-Hastings ([1], [2]).
Este trabajo fue desarrollado en el marco del Proyecto CAI+D 2024, código 85520240100114LI "Métodos matemáticos para problemas inversos y aplicaciones" IMAL-FIQ-UNL, Santa Fe, Argentina.
Trabajo en conjunto con: Rubén Spies (IMAL-FIQ, UNL-CONICET) y Karina Temperini (IMAL-FHUC, UNL-CONICET).
Referencias
[1] W. Chiu, P. Wang and P. Shafto. Discrete Probabilistic Inverse Optimal Transport. Proceedings of the 39th International Conference on Machine Learning, 2022.
[2] A. Stuart and M. Wolfram. Inverse Optimal Transport. SIAM Journal on Applied Mathematics, 2020.
[3] C. Villani. Topics in Optimal Transportation. Graduate Studies in Mathematics, 2008.