Sesión Lógica y ComputabilidadÁlgebras de efectos vectoriales
Diego Morcelle Gullo
CMaLP, Departamento de Matemática, Facultad de Ciencias Exactas, UNLP, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
En décadas recientes han surgido diversas alternativas para la formalización de la lógica cuántica [4, 5, 6], incluyendo la noción de álgebra de efectos (EA) [2]. Sin embargo, dado que en un sistema cuántico no siempre es posible asignar valores de verdad a dos proposiciones en simultáneo, este modelo en general no admite una implicación natural $\rightarrow$ bien definida. Aunque en ciertos casos particulares lo anterior es asequible [3], otra posible vía de investigación es "sumergir" la estructura parcial de una EA en una estructura total. De esto se trata el presente trabajo.
Consideremos el $\mathbb{C}$-espacio vectorial de operadores acotados sobre un espacio de Hilbert, $L(\mathcal{H})$, equipado con la noción habitual de conjugación y el orden inducido por el cono de operadores semidefinidos positivos. Los elementos de $L(\mathcal{H})$ pertenecientes al intervalo $\left[0,I\right]$ se denominan efectos. Denotamos a este conjunto $E(\mathcal{H})$ y definimos dos operaciones parciales, $\oplus$ y $\ast$, que coinciden con la suma y el producto por escalar de $L(\mathcal{H})$ cuando están definidas. Diremos que$X\oplus Y$ (respectivamente, $r\ast X$) está definida, si $X+Y$ $\leq$ $I$ (respectivamente, si $r\ast X$ $\leq$ $I$ y $r\in\mathbb{R}^{+}$). El reducto $(E(\mathcal{H}), \oplus, 0, I)$ es el ejemplo prototípico de EA.
Resulta natural preguntarse si es posible recuperar $L(\mathcal{H})$ a partir de $E(\mathcal{H})$. La respuesta es afirmativa: $L(\mathcal{H})$ es isomorfo a un cierto cociente del $\mathbb{C}$-espacio vectorial libre sobre $E(\mathcal{H})$.
Análogamente, podemos partir de cualquier $\mathbb{C}$-espacio vectorial ordenado $V$ con un elemento positivo $u$ y proceder de forma similar para obtener un "álgebra de efectos" $E(V)$. Esta asignación se extiende fácilmente a un funtor $E$ desde la categoría de $\star$-espacios vectoriales ordenados con unidad [1] hacia una categoría de álgebras parciales adecuadamente definidas. Más concretamente, un álgebra de efectos vectorial (VEA) es, a grandes rasgos, un álgebra de efectos dotada de un producto por escalar parcial, el cual satisface axiomas similares al de un espacio vectorial. Veremos que, emulando la construcción del caso particular de operadores, podemos asociar a toda VEA un $\mathbb{C}$-espacio vectorial ordenado con unidad, y que esta construcción define un adjunto a izquierda del funtor $E$. La restricción de $E$ a una subcategoría apropiada resulta en una equivalencia.
Trabajo en conjunto con: José Luis Castiglioni (CMaLP, Departamento de Matemática, Facultad de Ciencias Exactas, UNLP, Argentina).
Referencias
[1] Paulsen, V. I., & Tomforde, M. (2009). Vector spaces with an order unit. Indiana University Mathematics Journal, 1319-1359.
[2] Foulis, D. J., & Bennett, M. K. (1994). Effect algebras and unsharp quantum logics. Foundations of physics, 24(10), 1331-1352.
[3] Chajda, I., Halaš, R., & Länger, H. (2020). The logic induced by effect algebras. Soft Computing, 24(19), 14275-14286.
[4] Foulis, D. J., Greechie, R. J., & Rüttimann, G. T. (1992). Filters and supports in orthoalgebras. International Journal of Theoretical Physics, 31(5), 789-807.
[5] Kôpka, F., & Chovanec, F. (1994). D-posets. Mathematica Slovaca, 44(1), 21-34.
[6] Kalmbach, G. (1983). Orthomodular Lattices.