Sesión Ecuaciones Diferenciales y aplicacionesEl método shooting para soluciones periódicas de ecuaciones diferenciales con medidas
Fernando Mazzone
UNRC, CONICET, UNLPam, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
El objetivo de este trabajo es encontrar soluciones periódicas para Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con Medidas (EDOM) del siguiente tipo
\[ \left\lbrace \begin{array}{l l} d\varphi=f(t,\varphi(t))\;d \mu & t\in (0,T),\\ \varphi(0)-\varphi(T)=0. & \end{array}\right. \tag{${P}$} \] Aquí $f:[0,T]\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^{n\times m}$ es una función con valores matriciales, $\mu$ es una medida vectorial con valores en $\mathbb{R}^m$, con $\mu(\{0\})=\mu(\{T\})=0$. Por una solución de este problema entenderemos una función $\varphi:[0,T]\to \mathbb{R}^n$ de variación acotada y continua a izquierda tal que
\[ \mu_{\varphi}(A)=\int_Af(t,\varphi(t))d\mu, \] para todo conjunto de Borel $A\subset [0,T]$, donde $\mu_\varphi$ es la medida vectorial de Lebesgue-Stieltjes asociada a $\varphi$.
La formulación de nuestro problema contiene los casos más importantes de EDOM y problemas impulsivos (ver [2,3]) que han sido considerados en la literatura.
En el método shooting se considera el mapeo de Poincaré $P:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$, esto es la función definida por $P(x)=\varphi(T)$, donde $\varphi$ es la solución al problema de valores iniciales
\[ \left\lbrace \begin{array}{l l} d\varphi=f(t,\varphi(t))\;d \mu & t\in (0,T)\\ \varphi(0)=x & . \end{array}\right. \tag{1} \]
Entonces los puntos fijos del mapeo de Poincaré $P$ son soluciones del problema $(P)$. Para hallar tales puntos fijos, se utiliza el Teorema de Brouwer, para lo cual necesitamos verificar que $P$ es continuo y $P(\overline{B(0,R)})\subset \overline{B(0,R)}$, para algún $R \gt 0$.
Invocando el Teorema de Radon--Nikodym podemos reducir el problema $(P)$ al caso donde $\mu$ es una medida positiva y $f$ es un campo con valores en $\mathbb{R}^n$ posiblemente discontinuo.
Para la continuidad de $P$ fue clave la siguiente generalización de la desigualdad de Gronwall.
Teorema (Desigualdad de Gronwall para medidas) Sea $\mu$ una medida finita y positiva sobre $[0,T]$. Si $u\in L^1(\mu) $ satisface que \[ u(t)\leq c+\int_{[0,t)}u(s) \; d\mu(s), \] entonces \[ u(t)\leq c e^{K(t)\mu([0,t))}, \] donde $K(t)=\displaystyle\prod_{\tau\in D\cap[0,t)}\left( 1+\mu(\{\tau\})\right) $ y $D=\{\tau\mid \mu(\{\tau\}) \gt 0\}$.
Sobre el campo $f$ se asume:
$(P_1)$ Para cada $x\in\mathbb{R}^n$, $f(t,x)$ es medible Borel en la variable $t$. Además, $f(t,x)$ es continua para $x$ fijo en los valores de $t$ donde $\mu(\{t\})=0$.
$(P_2)$Para todo $t\in[0,T]$, $f(t,x)$ es continua en la variable $x$.
$(P_3)$ Existen $a,b$ positivos tal que $$|f(t,x)|\leq a|x|+b.$$
$(P_4)$ Existe $L\in\mathbb{R}$ tal que $$\left| f(t,x)-f(t,y)\right|\leq L\left| x-y \right| . $$
Bajo estas condiciones se prueba, usando la Desigualdad de Gronwall mencionada antes, que el operador de Poincaré es continuo. El otro ingrediente clave en el método shooting, es encontrar un número $R \gt 0$ tal que $P(\overline{B(0,R)})\subset \overline{B(0,R)}$. Para ello hay que garantizar que una solución de $(1)$ con $x\in\overline{B(0,R)}$ quede confinada a $\overline{B(0,R)}$ para todo valor $t$. De manera similar que para el caso de EDO, en las EDOM es necesario impedir que haya un flujo en dirección saliente por $\partial B(0,R)$. Pero, como las soluciones de EDOM pueden ser discontinuas, también hay que evitar que un impulso expulse a una solución al exterior de la bola desde su interior. En el siguiente teorema exponemos el resultado obtenido.
Teorema. Supongamos que $f$ es una función que satisface las condiciones $(P_1)$ a $(P_4)$ y que existe $R \gt 0$ tal que:
$(P_5)$ $f(t,u)\cdot u \lt 0$ para todo par $(t,u)$, con $|u| =R$ y $\mu(\{t\})=0$.
$(P_6)$ $x+f(t, x)\mu(\{t\}) \in \overline{B(0,R)}$, para todo $x\in \overline{B(0,R)}$.
Entonces, el operador de Poincaré cumple que $P\left( \overline{B(0,R)}\right) \subset \overline{B(0,R)}$.
Finalmente, aplicando el Teorema de Punto Fijo de Brouwer obtenemos la existencia de soluciones periódicas.
Es sabido que el método shooting permite resolver numéricamente problemas de contorno en el ámbito de EDO. En esta dirección, exploramos esta estrategia con EDOM obteniéndose algunos resultados y conclusiones.
La gran mayoría de los métodos numéricos computan la solución en pasos sucesivos de $t$. En cada paso es posible evaluar $f(t,x)$ en momentos futuros y pasados de $t$ respecto al correspondiente paso. Hemos observado que las EDOM presentan una dificultad adicional, a saber, que los métodos numéricos que utilizan momentos futuros en la evaluación de un paso no convergen a nuestra definición de solución. Por este motivo, se han empleado otros algoritmos. Uno de ellos se basa en las muy conocidas iteraciones de Picard. Ha sido probado que estas iteraciones convergen (ver (1) ) a la solución para el caso de EDOM. Otro es utilizar procedimientos que sólo requieren evaluar $f$ en momentos anteriores, como por ejemplo con un método de Adams explícito. Estos métodos combinados con el método shooting nos permiten resolver numéricamente problemas de contorno periódicos. A fin de ejemplificar, consideramos la ecuación correspondiente a un péndulo, donde sobre la masa actúa una fuerza externa impulsiva.
Trabajo en conjunto con: Sonia Acinas (UNLPam) y Lorenzo Sierra (UNLPam).
Referencias
[1] Beltritti, G., Demaria, S., Giubergia, G. y Mazzone, F. The Picard-Lindelöf theorem and continuation of solutions for measure differential equations. Czechoslovak Mathematical Journal, 2023.
[2] Brogliato, B. Nonsmooth Mechanics: Models, Dynamics and Control. Springer, 2016.
[3] Zavalishchin, S. y Sesekin, A. Dynamic Impulse Systems: Theory and Applications. Springer, 1997