Sesión Álgebra, Teoría de Números y TopologíaSobre la Clasificación de álgebras de Hopf punteadas
Omar Steven Gutiérrez Rojas
CIEM- FAMAF- Universidad Nacional de Córdoba, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
La clasificación de álgebras de Hopf punteadas de dimensión finita sobre los números complejos ha tenido importantes avances desde la introducción del método del Levante a fines de los años noventa. Dicho método propone como primer paso clasificar las álgebras de Nichols de dimensión finita (sobre grupos finitos). Luego, decidir si toda álgebra de Hopf corradicalmente graduada es la bosonización de un álgebra de Nichols del primer paso con el álgebra de grupo, lo que se conoce como el Problema de generación en grado uno. Finalmente, si la respuesta a la pregunta del segundo paso es positiva, calcular todas las posibles deformaciones (levantamientos) de dicha bosonización.
Cuando el corradical es un álgebra de grupo abeliano la clasificación ha sido finalizada, mientras que en el caso en que no es abeliano no ha sido completada pero muestra grandes avances. Por un lado, se debe aún determinar todas las álgebras de Nichols de dimensión finita sobre dichos grupos cuyo módulo de Yetter-Drinfeld asociado es simple. Por el otro, el caso en que no es simple fue completamente resuelto por Heckenberger y Vendramin [HV1, HV2], a partir de la introducción del grupoide de Weyl.
Para las álgebras de Nichols de dimensión finita en [HV1, HV2], se busca completar los otros dos pasos restantes del método del Levante, es decir, responder la pregunta de generación en grado uno y calcular todos los levantamientos, que necesitan en primer lugar dar una presentación por generadores y relaciones de las álgebras de Nichols en cuestión. Ésto se ha realizado para todas las familias genéricas con una cantidad arbitraria de sumandos simples en [ALS] y para un ejemplo excepcional donde el módulo de Yetter-Drinfeld consta dos sumandos [AS]; restan contemplarse otros tres casos de dos sumandos simples, y dos casos de tres sumandos simples. En el presente trabajo (en preparación) se abordarán los pasos del método del Levante para los casos de dos sumandos aún no estudiados, siguiendo las técnicas empleadas en [AS].
Trabajo en conjunto con: Iván Angiono (Universidad Nacional de Córdoba).
Referencias
[1] [ALS] I. Angiono, S. Lentner and G. Sanmarco, Pointed Hopf algebras over nonabelian groups with nonsimple standard braidings. Proc. Lond. Math. Soc. (3) 127, No. 4, 1185-1245 (2023).
[2] [AS] I. Angiono and G. Sanmarco, Pointed Hopf algebras over non abelian groups with decomposable braidings. I. J. Algebra 549, 78--111 (2020).
[3] [HV1] I. Heckenberger and L. Vendramin, The classification of Nichols algebras over groups with finite root system of rank two. J. Eur. Math. Soc. 19, No. 7, 1977--2017 (2017).
[4] [HV2] I. Heckenberger and L. Vendramin, A classification of Nichols algebras of semisimple Yetter-Drinfeld modules over non-abelian groups. J. Eur. Math. Soc. 19, No. 2, 299--356 (2017).