Sesión Aplicaciones de la Matemática y Física MatemáticaMétodos Variacionales en la Segmentación Multi-fase de Imágenes
Pablo Martín Casal
Universidad Nacional de Moreno, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
En los últimos años se abordó el problema de segmentación en más de dos regiones, tanto desde el punto de vista de la ecuación de Mumford-Shah como de la de Allen-Cahn. En ambos casos se proponen funcionales distintos que involucran diferentes términos de regularización.
La segmentación en dos regiones se realiza a partir de una fase $\phi$ donde se considera la separación en dos regiones mediante la curva de nivel $0$ de $\phi$. Con el objetivo de lograr separaciones que reflejen la imagen original libre de ruido y que produzca un contraste entre las dos regiones se propone el problema variacional \[ \min\mathcal{E}_{s}(\phi) = \int_{\Omega} \left(W(\phi) + \frac{1}{2} \, \left|(-\Delta)^{s/2} \phi\right|^{2} + \left|f - \phi \right|^{2} \right) \, dx \, dy, \] donde $\phi$ y $f$ es la imagen original, $W(\phi) = \frac{1}{4}(1 - \phi^2 )^2$ es la función doble pozo de energía potencial y $s\in(0,1)$ es un parámetro de regularización que interviene en el laplaciano fraccionario del segundo término.
En [1] se resuelve el problema variacional planteando la ecuación de evolución asociada al descenso por gradiente mediante los métodos de descomposición temporal (TSM).
Para extender la segmentación de una imagen en más de una zona se propone resolver el problema multi-fase mediante estos mismos métodos, mostrando que son flexibles, eficientes y de bajo costo computacional en la resolución de problemas variacionales provenientes de funcionales asociados a este problema. Específicamente, el funcional dado por \[ \mathcal{E}^\epsilon = \int_{\Omega} \sum_i^n\left(\epsilon\vert\nabla u_i\vert^2 + \frac{1}{\epsilon}W(u_i)\right)+F(u_1, u_2,\ldots, u_n, I)\, dx \, dy, \] presentado en [2], para resolver el problema de segmentar una imagen en $2^n$ regiones. Se comparará su performance con otros algoritmos existentes en la literatura considerando el tiempo computacional y analizando diferentes medidas de calidad, tanto en imágenes simuladas como reales.
Trabajo en conjunto con: Leonardo Dell’Arciprete (Universidad Nacional de Moreno, Argentina), Julia Cassetti (Universidad de Moreno-Universidad de General Sarmiento, Argentina), Fernando Chorny (Universidad Nacional de Moreno, Argentina), Diego Rial (Universidad de Buenos Aires-CONICET, Argentina), Daniela Malegarie (Universidad de Moreno-Universidad de General Sarmiento, Argentina) y Pablo Casal (Universidad Nacional de Moreno, Argentina).
Referencias
[1] L. Dell’Arciprete, J. Cassetti, F. Chorny, D. Rial, D. Malegarie, P. Casal. Resolución de ecuaciones de reacción-difusión no lineal para filtrado de imágenes. Exposición oral, X Congreso de Matemática Aplicada, Computacional e Industrial (MACI 2025), 05 2025.
[2] Liu, C., Qiao, Z., Zhang, Q. Multi-phase image segmentation by the Allen–Cahn Chan–Vese model. Computers & Mathematics with Applications, 141, 207–220, 07 2023.