Sesión Análisis Numérico y OptimizaciónAproximación por elementos finitos de un problema fraccionario usando mallas graduadas
Ariel L. Lombardi
Universidad Nacional de Rosario & CONICET, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Consideramos la aproximación numérica del siguiente problema de Dirichlet para potencias fraccionarias de un operador elíptico de segundo orden \begin{equation}\label{eq:pbfrac} \mathcal L^su = f\quad \mbox{en }\Omega, \qquad \qquad u=0\quad\mbox{en }\partial\Omega, \end{equation} donde $\Omega$ es el cuadrado unitario $(0,1)^2$, el operador $\mathcal L$ es de la forma $\mathcal Lv=-\Delta v + c(x)v$, con $c(x)\geq 0$, y $s\in (0,1)$. La principal dificultad para obtener métodos numéricos eficientes para \eqref{eq:pbfrac} es que $\mathcal{L}^s$ es un operador no local.
En [1], por ejemplo, se propusieron diferentes técnicas para obtener esquemas computacionales efectivos. Las mismas se basan en la discretización de un problema extendido, en un cilindro infinito, introducido por Caffarelli y Silvestre en [2]. Una de estas técnicas resulta, luego de una semidiscretización en la variable extendida y un proceso de diagonalización, en la solución de una sucesión de problemas de reacción-difusión, varios de ellos siendo singularmente perturbados. Se propusieron estrategias para resolver estos problemas adecuadamente, las cuales requieren el uso de mallas anisotrópicas refinadas geométricamente hacia la frontera de $\Omega$. Para obtener resultados apropiados, dichas mallas deben ser elegidas dependiendo de cada parámetro de perturbación singular.
Respecto de este último punto, en esta charla proponemos el uso de elementos finitos en un tipo de mallas graduadas (introducidas en [3]) que pueden ser definidas independientemente del valor del parámetro de perturbación singular y para las cuales se obtienen resultados óptimos de aproximación en la norma de energía. Así, todos los problemas de reacción difusión se discretizan sobre la misma malla y esto, entre otras cosas, disminuye el costo computacional de ensamblado. Combinando esta técnica con nuevos resultados de superconvergencia para problemas de reacción-difusión, logramos convergencia óptima respecto del parámetro de discretización.
Trabajo en conjunto con: Melani Barrios (Universidad Nacional de Rosario & CONICET, Argentina) y Cecilia Penessi (Universidad Nacional de Rosario & CONICET, Argentina).
Referencias
[1] L. Banjai, J.M. Melenk, R.H. Nochetto, E. Otárola, A.J. Salgado, C. Schwab. Tensor FEM for spectral fractional diffusion. Found. Comput. Math. 19:901-962, 2019
[2] L. Caffarelli, L. Silvestre. An extension problem related to the fractional laplacian. Comm. Partial Diff. Eq. 32(8):1245-1260, 2007
[3] R.G. Durán, A.L. Lombardi. Error estimates on anisotropic Q1 elements for functions in weighted Sobolev spaces. Math. Comp. 74(252):1679-1706, 2005