Sesión Matemática DiscretaSobre la convergencia de puntos finalmente periódicos para autómatas celulares permutacionales
Luca D'Amico
Universidad Nacional De Salta - Facultad de Ciencias Exactas - Departamento de Matemática, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
En el marco de la teoría de la dinámica de los autómatas celulares unidimensionales, resulta interesante considerar familias de autómatas que alcanzan el conjunto límite en una cantidad finita de iteraciones. Algunos casos fueron estudiados en [1], [3] y [7].
A partir de un código prefijo $\cal C$ que permite la codificación de todo el full shift $\cal A^{\mathbb N}$, consideramos $\mathbb{E}_{\cal C}$ el Automata Celular Permutacional Elector asociado a $\cal C$, es decir: $\mathbb{E}_{\cal C}\left( x \right)_{i}=\sigma^{l(i)}{\left( x\right)}_i$ donde la transformación $\sigma$, definida por $\sigma(x)_i=x_{i+1}$, y $l(i)$ es la longitud del elemento de $\cal C$ que comienza en la posición $i$ del punto.
En este trabajo vamos a describir una familia de Autómatas Celulares Permutacionales que alcanzan el conjunto límite en una cantidad finita de iteraciones en sus puntos finalmente periódicos. Si consideramos el código prefijo ${\cal C}_1=\{000,001,010,011,1000,1001,101,11\}$, y $\mathbb{E}_{{\cal C}_1}$ el Automata Celular Permutacional Elector asociado, resulta que $\mathbb{E}_{{\cal C}_1}$ alcanza el conjunto límite en una cantidad finita de iteraciones en sus puntos finalmente periódicos.
Es decir, demostramos que para todo $x\in \cal A^{\mathbb{N}}$, $\sigma-$periódico de periodo mínimo $n$, existe $j_n\in \mathbb{N}$ tal que
$$\mathbb{E}_{{\cal C}_1}^{j_n}(x)=\sigma^{k}(\mathbb{E}_{{\cal C}_1}^{j_n-1}(x)), k \in \{2,3\}$$
Logramos describir una condición suficiente de cómo los puntos $\mathbb{E}_{{\cal C}_1}$ finalmente periódicos convergen (es decir, cuando $k=2$ y cuando $k=3$), en términos de los parámetros del código que determinan el autómata.
Desarrollamos este ejemplo para dar las bases y poder construir una familia de Autómatas Celulares Electores $\{{\cal C}_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ tales que los puntos finalmente periódicos alcancen el conjunto límite en una cantidad finita de iteraciones.
Trabajo en conjunto con: Alberto, Diego Luis (Universidad Nacional De Salta - Facultad de Ciencias Exactas - Departamento de Matemática) y Jadur, Camilo Alberto (Universidad Nacional De Salta - Facultad de Ciencias Exactas - Departamento de Matemática).
Referencias
[1] F. Blanchard, G. Hansel. Systémes codés. 1986, Theoret. Comput. Sci. 44, no. 1, p. 17-49.
[2] Hedlund, G. Endomorphisms and automorphisms of the shift dynamical systems. 1969, Math. Syst. Theory 4, 3, p. 320-375.
[3] Jadur, C. Yazlle, J. On the dynamics of autómata celular induced from a prefix code. Advances in Applied Mathematics, Elsevier.2007 vol.38 n38. p27-53. issn 0196-8858.
[4] Kurka, P. Languages, Equicontinuity and Attractors in Cellular Automata . 1997, Ergodic Theory \& Dynamical Systems 17, p. 417-433.
[5] Kurka, P. Topological and Symbolic Dynamics. 2003, Cours Spécialisés 11, Societé Mathématique de France.
[6] Lind, D. Marcus, B. Symbolic Dynamics and Coding. 1995, Cambridge University Press.
[7] Alberto, D. Sensitivity of Cellular Automata: The Case of Variable Length Shifts. Journal of Cellular Automata 13, 429–440 (2017).