Sesión Análisis armónico, real y teoría de aproximaciónAcotaciones del tipo $L^\infty-BMO$ con pesos para operadores de Calderón-Zygmund fuertemente singulares
Ignacio Viltes
Facultad de Ingeniería Química (UNL-CONICET), Santa Fe, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Los operadores de Calderón-Zygmund fuertemente singulares constituyen un pilar fundamental del Análisis Armónico y la Teoría de Ecuaciones en Derivadas Parciales, debido a su estrecha relación con una amplia gama de operadores pseudodiferenciales e integrales oscilatorias. Como su nombre sugiere, estos operadores comparten muchas de las propiedades esenciales de la teoría clásica, diferenciándose de ella por sus núcleos, que no requieren condición de tamaño y exhiben singularidades más pronunciadas en la diagonal de $\mathbb{R}^{2n}$.
Siguiendo las definiciones de Álvarez y Milman [1], consideramos operadores lineales acotados $T\colon\mathcal{S}\to\mathcal{S}'$, que se extienden de manera continua a $L^2$ y cuya acción se describe mediante \[\langle Tf,g\rangle=\iint K(x,y)f(y)g(x)\,dy\,dx,\qquad\forall f,g\in \mathcal{S}\text{ con soportes disjuntos},\] donde $K$ es continua fuera de la diagonal de $\mathbb{R}^{2n}$ y satisface la condición de regularidad \[|K(x,y)-K(x,z)|+|K(y,x)-K(z,x)|\leq C\frac{|y-z|^{\delta}}{|x-z|^{n+\frac{\delta}{\alpha}}}\qquad\text{si}\quad|x-z|\geq 2|y-z|^\alpha,\] para ciertos parámetros $0 \lt \delta,\alpha\leq 1$. Además, asumimos una propiedad de mejora de la integrabilidad, de modo que tanto $T$ como su adjunto $T^\ast$ se extienden de manera continua de $L^q$ en $L^2$, con \[\frac{1}{2}=\frac{1}{q}-\frac{\beta}{n},\qquad\text{para algún}\quad\frac{n(1-\alpha)}{2}\leq \beta \lt \frac{n}{2}.\] Esta clase de operadores constituye así una generalización natural de los conocidos multiplicadores \[\widehat{T_{\alpha\beta}f}(\xi)=\frac{e^{i|\xi|^{\alpha}}}{|\xi|^{\beta}}\theta(\xi)\hat{f}(\xi),\] donde $0 \lt \alpha \lt 1$, $\beta \gt 0$ y $\theta$ es una función de corte estándar (cf. [9, 4, 5]).
En el marco de los espacios $L^p$, Álvarez y Milman [1, 2] obtuvieron resultados que extienden la teoría clásica de operadores de Calderón–Zygmund al caso fuertemente singular. A diferencia del ejemplo paradigmático del operador $T_{\alpha\beta}$ con $\beta=n\alpha/2$, que cuenta con una teoría de pesos $A_p$ consolidada (cf. [3, 6]) y para el cual hemos obtenido recientemente criterios suficientes para la acotación $L^\infty-BMO$ con pesos, en este contexto generalizado, ciertos casos extremos de interés permanecen inexplorados (e.g., [8, 7]). En este trabajo proponemos condiciones sobre los pesos que garantizan la acotación $L^\infty-BMO$ para operadores de Calderón–Zygmund fuertemente singulares, y discutimos extensiones naturales junto con posibles perspectivas futuras.
Trabajo en conjunto con: Gladis G. Pradolini (Facultad de Ingeniería Química (UNL-CONICET), Santa Fe, Argentina), Fabio M. Berra (Facultad de Ingeniería Química (UNL-CONICET), Santa Fe, Argentina) y Wilfredo A. Ramos (Instituto de Modelado e Innovación Tecnológica (CONICET-UNNE), Corrientes, Argentina).
Referencias
[1] J. Álvarez and M. Milman, $H^p$ continuity properties of Calderón-Zygmund-type operators, J. Math. Anal. Appl. 118 (1986), no. 1, 63-79.
[2] J. Álvarez and M. Milman, Vector valued inequalities for strongly singular Calderón-Zygmund operators, Rev. Mat. Iberoamericana 2 (1986), no. 4, 405-426.
[3] S. Chanillo, Weighted norm inequalities for strongly singular convolution operators, Trans. Amer. Math. Soc. 281 (1984), no. 1, 77-107.
[4] C. Fefferman, Inequalities for strongly singular convolution operators, Acta Math. 124 (1970), 9-36.
[5] C. Fefferman and E. M. Stein, $H^p$ spaces of several variables, Acta Math. 129 (1972), no. 3-4, 137-193.
[6] J. García-Cuerva, E. Harboure, C. Segovia and J. L. Torrea, Weighted norm inequalities for commutators of strongly singular integrals, Indiana Univ. Math. J. 40 (1991), no. 4, 1397-1420.
[7] W. Li and L. Wu, Weighted norm inequalities for multilinear strongly singular Calderón-Zygmund operators on $RD$-spaces, Math. Nachr. 297 (2024), no. 2, 657-680.
[8] T. Picon and C. Vasconcelos, On the Continuity of Strongly Singular Calderón-Zygmund-Type Operators on Hardy Spaces, Integr. Equ. Oper. Theory 95 (2023), no. 9.
[9] S. Wainger, Special trigonometric series in $k$-dimensions, Mem. Amer. Math. Soc. 59 (1965).