Sesión Ecuaciones Diferenciales y aplicacionesExtensión de la fórmula BBM a espacios de Sobolev magnéticos fraccionarios con exponente variable
Rosa Alejandra Lorenzo
Departamento de Matemática-Instituto de Matemática Aplicada San Luis (IMASL)-Universidad Nacional de San Luis, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
El estudio de los espacios de Sobolev y su comportamiento asintótico ha sido central en el análisis de ecuaciones diferenciales y el cálculo de variaciones. Un resultado fundamental es la fórmula de Bourgain-Brezis-Mironescu (BBM), que describe el paso de las normas fraccionarias a la norma clásica de Sobolev cuando el orden fraccionario tiende a uno.
En los últimos años, han recibido gran importancia en el ámbito de las ecuaciones diferenciales los espacios de Sobolev fraccionarios $W^{s,p}(\Omega)$. Estos espacios están definidos como \[W^{s,p}(\Omega):=\left \{u\in L^p(\Omega)\colon\frac{u(x)-u(y)}{|x-y|^{\frac{n}{p}+s}}\in L^p(\Omega\times\Omega)\right\},\]
donde $\Omega\subseteq\mathbb{R}^{n}$ es un dominio arbitrario y $0 \lt s \lt 1\leqslant p \lt \infty.$ Estos espacios están fuertemente asociados al operador $p$-Laplaciano fraccionario. En el paper de Bourgain-Brezis-Mironescu se estudió el comportamiento asintótico cuando $s\rightarrow1$ de la seminorma de gagliardo y se obtuvo el siguiente resultado: \[ \lim_{s\to1}s(1-s)\iint_{\Omega\times\Omega}\frac{|u(x)-u(y)|^{p}}{|x-y|^{n+sp}}\,dydx=K_{n,p}\int_{\Omega}|\nabla u|^p\,dx,\] donde la constante $K_{n, p}$ esta dada por \[K_{n, p}= \frac{1}{p}\int_{\mathbb{S}^{n-1}}|w\cdot h |^p\,dH^{n-1}(h),\] y $\mathbb{S}^{n-1}$ denota la esfera unitaria y $w$ es un vector unitario en $\mathbb{R}^n$.
En esta charla abordaremos la extensión de la fórmula BBM al contexto de espacios de Sobolev magnéticos fraccionarios con exponente variable.
Trabajo en conjunto con: Pablo Ochoa (Universidad Nacional de Cuyo-CONICET) y Analía Silva (Universidad Nacional de San Luis-IMASL-CONICET).