Sesión Análisis armónico, real y teoría de aproximaciónMejor aproximación local y desigualdades tipo Pólya en espacios de Lebesgue con exponente variable
Claudia Vanina Ridolfi
Universidad Nacional de San Luis, FCFMyN, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
La teoría de la mejor aproximación local estudia el comportamiento asintótico de las mejores aproximaciones polinomiales en vecindades que se contraen hacia un conjunto finito de puntos. Este problema se ha tratado clásicamente en espacios $L^{p}$ para funciones suficientemente diferenciables, y sus soluciones guardan una estrecha relación con la interpolación de Hermite de la función a aproximar [1,5].
En este trabajo extendemos dicho análisis al marco de los espacios de Lebesgue de exponente variable $L^{p(\cdot)}$, una generalización natural de los espacios $L^p$, ampliamente utilizada en análisis armónico y en el cálculo de variaciones [2,3]. Este contexto más flexible permite modelar fenómenos con regularidad variable y plantea nuevos desafíos en la teoría de la aproximación. En particular, obtenemos una forma asintótica del error de la mejor aproximación polinomial, medido en la norma de Luxemburgo promediada con exponente variable, la cual resulta especialmente adecuada para capturar la variabilidad del exponente.
Demostramos que, al reescalar correctamente estas expresiones, es posible caracterizar con precisión el comportamiento límite de las mejores aproximaciones. Más aún, mostramos que dichos aproximantes convergen hacia las soluciones de un problema de minimización discreto sujeto a restricciones de tipo Hermite.
Además, se presenta una versión generalizada de la desigualdad de tipo Pólya en este contexto, que juega un papel central en el análisis. Esta desigualdad constituye una herramienta fundamental para obtener estimaciones cuantitativas del error de aproximación, y representa una extensión natural de resultados conocidos en el marco clásico de los espacios $L^p$ [4].
Este trabajo está parcialmente subvencionado por Universidad Nacional de Río Cuarto (PPI 18/C614-2), Universidad Nacional de San Luis (PROICO 03/0720), Universidad Nacional de La Pampa, Facultad de Ingeniería (RCD 203/23) y CONICET (PIP 11220200100694CO).
Trabajo en conjunto con: Fabián E. Levis (Universidad Nacional de Río Cuarto, CONICET, FCEFQyN, Argentina), Claudia N. Rodriguez (Universidad Nacional de Río Cuarto, FCEFQyN, Argentina) y Juan Costa Ponce (Universidad Nacional de San Luis, CONICET, IMASL, Argentina).
Referencias
[1] R. Beatson, C. Chui, Best multipoint local approximation, Functional Analysis and Approximation: Proc. Conf. Mathematical Research Institut Oberwolfach 1980, 60, (1981), 283–296.
[2] O. Kovácik, J. Rákosník, On spaces $L^{p(x)}$ and $W^{k,p(x)}$. Czechoslovak Math. J. 116 (1991), 592–618.
[3] L. Diening, P. Harjulehto, P. Hästö, M. Ruzicka, Lebesgue and Sobolev Spaces with Variable Exponents. Springer, 2011.
[4] H. Cuenya, F. Levis, Pólya-type polynomial inequalities in $L^p$ spaces and best local approximation. Numer. Funct. Anal. Optim. 26 (2005), 813–827.
[5] M. Marano, Mejor Aproximación Local, Tesis Doctoral. Universidad Nacional de San Luis. (1986).