Sesión Análisis armónico, real y teoría de aproximación Operadores multilineales inducidos por hipermétricas
Joaquín Toledo
IMAL, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Dados $n\geq 1$ y $m\geq 2$ enteros, si $\bigtriangleup$ denota la diagonal de $(\mathbb{R}^n)^{m+1}$, es decir, $\bigtriangleup=\{(x,x,\cdots, x ): x \in \mathbb{R}^n\}$, definimos $\rho(x_{1},\cdots, x_{m+1})=d((x_{1},\cdots,x_{m+1}),\bigtriangleup)$. En analogía con los potenciales que provienen de la física clásica que son del tipo $\varphi(|x|)$ para un perfil $\varphi$ generalmente monótono decreciente, estudiamos en este trabajo las propiedades de acotación de los operadores multilineales generados por núcleos que son de la forma $$ K(x_{1},\cdots, x_{m},x)=\varphi(\rho(x_{1},\cdots,x_{m},x)) $$ con $\varphi$ adecuadas para producir núcleos (integrables) aptos para la versión multilineal [2] de lema de Schur y otros perfiles $\varphi$ que son potencias negativas de $\rho$ y generan operadores de tipo integración fraccionaria multilineales que difieren de los usuales [1] en el hecho de que en nuestro caso la singularidad está concentrada en la diagonal de $\left(\mathbb{R}^n\right)^{m+1}$. Este segundo problema lo abordamos desde los resultados de acotación clásicos de la teoría del operador de integración fraccionaria y usando el Teorema de Interpolación Multilineal de [1]. Por simplicidad enunciamos los resultados para el caso bilineal .
$\mathbf{Teorema\:1}$ Si $\varphi$ es decreciente en sentido amplio y $\int_0^{\infty}\varphi(t)t^{2n-1}dt \lt \infty$, entonces el operador $$ T(f,g)(x)=\int_{x_{1}\in \mathbb{R}^{n}}\int_{x_{2}\in \mathbb{R}^{n}}K(x_{1},x_{2},x)f(x_{1})g(x_{2})dx_{1}dx_{2} $$
aplica $L^{p_{1}}(\mathbb{R}^n)\times L^{p_{2}}(\mathbb{R}^n)$ en $L^{r}(\mathbb{R}^n)$ con $\|T(f,g)\|_r\leq C(\varphi)\|f\|_{p_{1}}\|g\|_{p_{2}}$ para $1 \lt p_{1} \lt \infty$, $1 \lt p_{2} \lt \infty$ y $1 \lt r \lt \infty$ con $\frac{1}{p_{1}}+\frac{1}{p_{2}}=\frac{1}{r}$.
El Teorema 1 se obtiene del Lema de Schur multilineal de [2]. Ninguna potencia $\varphi(t)=t^{\alpha}$, $t \gt 0$, satisface la condición $\int_0^{\infty}\varphi(t)tdt \lt \infty$. Por consiguiente el Teorema 1 no contiene lo que son los análogos de los potenciales newtonianos para estas hipermétricas $\rho$. Un resultado en al dirección del análisis de integrales fraccionarias asociadas a $\rho$ es el siguiente.
$\mathbf{Teorema\:2}$ Sea $0 \lt \gamma \lt n$ y $K(x_{1},x_{2},x)=\rho^{\gamma}(x_{1},x_{2},x)$. Entonces el operador $$ T^{\gamma}(f,g)(x)=\int_{x_{1}\in \mathbb{R}^n}\int_{x_{2}\in \mathbb{R}^n}\frac{f(x_{1})g(x_{2})}{\rho^{\gamma}(x_{1},x_{2},x)}dx_{1}dx_{2} $$ es de tipo débil restringido $(p,q',\infty)$, $(\tilde{q}',\tilde{p},\infty)$ y $(p^{\Diamond},1,q^{\Diamond})$ con $\frac{1}{q'}=1-\frac{1}{p}+\frac{n-\gamma}{n}$ $\frac{1}{\tilde{q'}}=1-\frac{1}{\tilde{p}}+\frac{n-\gamma}{n}$ $\frac{1}{q^{\Diamond}}=\frac{1}{p^{\Diamond}}-\frac{n-\gamma}{n}$ y $1 \lt p,\tilde{p},p^{\Diamond} \lt \frac{n}{n-\gamma}$. Por consiguiente $T^{\gamma}$ es acotado de $L^{p_{1}}(\mathbb{R}^n)\times L^{p_{2}}(\mathbb{R}^n)$ en $L^{r}(\mathbb{R}^n)$ para toda terna $\left(p_{1},p_{2},r\right)$ tal que $\left(\frac{1}{p_{1}},\frac{1}{ p_{2}},\frac{1}{ r}\right)$ pertenzca a la cápsula convexa de $\left(\frac{1}{p},\frac{1}{ q'},0\right)$, $\left(\frac{1}{\tilde{q}},\frac{1}{ \tilde{p}},0\right)$ y $\left(\frac{1}{p^{\Diamond}},1,\frac{1}{ q^{\Diamond}}\right)$ para cualquier elección de $p,\tilde{p}$ y $p^{\Diamond}$ como arriba.
Trabajo en conjunto con: Ivana Gómez (IMAL) y Hugo Aimar (IMAL).
Referencias
[1] L. Grafakos. Modern Fourier Analysis. Graduate Texts in Mathematics. Springer New York, 2014.
[2] L. Grafakos y R. Torres. A multilinear Schur test and multiplier operators. (2001).
[3] C. Kenig y E. Stein. Multilinear estimates and fractional integration. (1999).