Sesión Análisis armónico, real y teoría de aproximaciónDerivación fraccionaria de funciones Lipschitz y Besov en contextos diádicos generales
Juliana Boasso
IMAL-CONICET, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
El propósito de este trabajo es mostrar algunos resultados de caracterización con bases de tipo Haar de regularidades de Lipschitz y Besov diádicas en espacios de probabilidad no atómicos y la acción sobre ellos, de operadores naturales de derivación fraccionaria.
Sea $(\mathbb{X},\mathcal{F},\mu)$ un espacio de probabilidad no atómico. Sean $\mathcal{D},\delta_{\mathcal{D}}$ y $\mathscr{H}$ una familia diádica, la pseudo-métrica inducida por $\mathcal{D}$ y un sistema de Haar como en [3]. En [3] probamos el siguiente resultado:
$\mathbf{Teorema\:1}.$ Sea $\mathcal{D}$ una base de diferenciación de $L^1(\mathbb{X}).$ Una función real definida en $\mathbb{X}$ es Lipschitz-$\alpha$ para $\alpha \gt 0$ $\big(|f(x)-f(y)|\leq C|f|_{Lip_{\delta_{\mathcal{D}}}(\alpha)}\delta_{\mathcal{D}}(x,y)\big)$ si y sólo si para toda $h\in\mathscr{H},$ $|\langle f, h\rangle|\leq |f|_{Lip_{\delta_{\mathcal{D}}}(\alpha)}\mu(Q(h))^{\alpha+\frac{1}{2}},$ donde $Q(h)\in\mathcal{D}$ soporta a $h.$
En el contexto de espacios de tipo homogéneo en [2] se introducen espacios de Besov (para $p=q=2$) diádicos y se caracterizan usando wavelets de Haar.
$\mathbf{Teorema\:2}$ (Teorema 5 en [2]). Sea $f\in L^2(\mathbb{X,\mu)}.$ Entonces $f\in B_2^\lambda$ $\big( \iint_{\mathbb{X}\times \mathbb{X}}\frac{|f(x)-f(y)|^2}{\delta_{\mathcal{D}}^{1+2\lambda}(x,y)}\: d\mu(x)d\mu(y) \lt \infty\big)$ si y sólo si $\sum_{h\in\mathscr{H}}\frac{|\langle f,h\rangle|^2}{\mu(Q(h))^{2\lambda}} \lt \infty.$
Estudiamos la acotación del operador de diferenciación fraccionaria natural del contexto $$D^\beta f(x)=\int_{y\in\mathbb{X}}\frac{f(x)-f(y)}{\delta_{\mathcal{D}}^{1+\beta}(x,y)} \:d\mu(y),$$ para $\beta \gt 0,$ entre los espacios de Lipschitz y de Besov indroducidos arriba. El resultado es, de alguna manera el esperado, y su demostración se basa en el análisis espectral de $D^\beta$ en términos del sistema $\mathscr{H}.$
$\mathbf{Lema\:3}.$ Para $0 \lt \beta \lt 1$ y $h\in\mathscr{H},$ $D^\beta h=m_h \mu(Q(h))^{-\beta} h,$ con $0 \lt m\leq m_h\leq M,$ para toda $h\in\mathscr{H},$ con $m,M$ constantes.
$\mathbf{Teorema\:4}.$ Para todos $\alpha,\beta$ tales que $0 \lt \beta \lt \alpha$ tenemos que $D^\beta:Lip_{\delta_{\mathcal{D}}}(\alpha) \to Lip_{\delta_{\mathcal{D}}}(\alpha-\beta).$ Además, existe una constante $C \gt 0$ tal que $|D^\beta f|_{Lip_{\delta_{\mathcal{D}}}(\alpha-\beta)}\leq C |f|_{Lip_{\delta_{\mathcal{D}}}(\alpha)}.$
$\mathbf{Teorema\:5}.$ Para todos $\lambda,\beta$ tales que $0 \lt \beta \lt \lambda$ tenemos que $D^\beta :B^\lambda_2 \to B^{\lambda-\beta}_2$ continuamente.
Trabajo en conjunto con: Hugo Aimar (IMAL-CONICET).
Referencias
[1] M. Actis and H. Aimar. Dyadic nonlocal diffusions in metric measure spaces. Fractional Calculus and Applied Analysis, 18(3):762–788, May 2015. ISSN 1314-2224. doi: 10.1515/fca-2015-0046.
[2] M. Actis, H. Aimar, B. Bongioanni, and I. Gómez. Nonlocal schrödinger equations in metric measure spaces. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 435(1):425–439, 2016. ISSN 0022-247X. doi: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2015.10.031.
[3] H. Aimar and J. Boasso. A measure theoretic approach to lipschitz regularity and its haar type wavelet analysis. 2025. URL https://doi.org/10.48550/arXiv.2506.03341.
[4] I. Daubechies. Ten Lectures on Wavelets. Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992.
[5] M. Holschneider and P. Tchamitchian. Regularite locale de la fonction 'non-differentiable' de Riemann. Niedersächsische Staats-und Universitätsbibliothek Göttingen. Springer Verlag. pp. 102-124, 1990.