Sesión Análisis Numérico y OptimizaciónMétodo de elementos finitos en mallas graduadas para un problema singularmente perturbado con retardo
Cecilia Penessi
UNR - CONICET, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Consideramos el problema con retardo y perturbación singular de la forma \begin{equation} \label{modelo} \left\{ \begin{array}{r} -\varepsilon^2 u''(x) + a(x)\,u(x) + b(x)\,u(x-1) = f(x), \quad x \in (0,2), \\ \quad \quad u(x) = \varphi(x), \quad x \in (-1,0), u(2) = L, \end{array} \right. \end{equation} donde $a, b$ y $f$ son funciones suaves en $[0,2]$, y $\varphi$ es una función suave en $[-1,0]$, que satisfacen \[a(x)\geq \alpha \gt 0, \quad \beta_0\leq b(x) \leq \beta \lt 0, \quad \alpha+\frac{\beta_0}{2}\geq \eta \gt 0, \quad \forall \, x\in [0,2],\] para ciertas constantes $\alpha, \beta_0, \beta$ y $\eta$, $L$ es una constante dada y $\varepsilon \gt 0$ es el parámetro de perturbación singular que se asume pequeño $\varepsilon\ll1$. Este tipo de problemas surge, por ejemplo, en control óptimo y modelos de difusión con retardo, y presenta soluciones con capas límite en $x=0$ y $x=2$, así como una capa interior en $x=1$, inducida por el retardo.
Debido a la naturaleza multiescala del problema, el diseño de métodos numéricos robustos respecto de $\varepsilon$ representa un desafío importante. En [2], los autores analizan el problema (1) utilizando el método hp--FEM sobre una malla espectral dependiente de $\varepsilon$, obteniendo convergencia exponencial en la norma de la energía, uniforme respecto de $\varepsilon$. Si bien este enfoque es efectivo, requiere que los datos sean analíticos y la definición de la malla depende fuertemente del parámetro $\varepsilon$, de modo que una malla adecuada para un valor dado puede resultar ineficaz para otros.
En este trabajo proponemos estudiar el problema (1) mediante una discretización por elementos finitos de bajo orden sobre mallas graduadas independientes de $\varepsilon$, como las introducidas por Durán y Lombardi en [1]. Estas mallas han demostrado ser efectivas en problemas de reacción--difusión (sin retardo), y permiten capturar las capas sin recurrir a refinamientos adaptativos ni al conocimiento explícito de $\varepsilon$.
Con base en esta aproximación, nuestro análisis se centra en la posibilidad de obtener estimaciones de error robustas en la norma de la energía $$ \|v\|_\varepsilon := \left( \varepsilon^2 \int_0^2 |v'(x)|^2\,dx + \int_0^2 a(x)\,|v(x)|^2\,dx + \int_1^2 b(x)v(x-1)v(x)\, dx\right)^{1/2} , $$ uniformemente en $\varepsilon$. Además analizamos la convergencia en una norma balanceada, que es de interés fundamental cuando el parámetro es muy pequeño.
Trabajo en conjunto con: Melani Barrios (Universidad Nacional de Rosario - CONICET) y Ariel L. Lombardi (Universidad Nacional de Rosario - CONICET).
Referencias
[1] Durán, R. G., and Lombardi, A. L. Error estimates on anisotropic Q1 elements for functions in weighted Sobolev spaces. Math. Comput. 74, 252 (2005), 1679–1706.
[2] Nicaise, S., and Xenophontos, C. Robust approximation of singularly perturbed delay differential equations by the hp-finite element method. Computational Methods in Applied Mathematics 13, 1 (2013), 21–37.