Resúmenes

Sistemas Dinámicos

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Arbitrary large number of non trivial rescaling limits

Matthieu Arfeux (Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, matthieu.arfeux@pucv.cl)

Los limites renormalizados son objetos naturales que hay que considerar cuando uno quiere estudiar el espacio de las fracciones racionales de un grado fijo y compactificarlo para estudiar la dinámica de sus elementos. Los trabajos de Juan Rivera Letelier y Jan Kiwi pusieron en evidencia como la dinámica no-arquimediana permite estudiar dichos límites. En esta charla bastante informal y abiertas a no expertos, explicaré como utilizar la dinámica holomorfa para responder a una pregunta de Jan Kiwi en el mundo holomorfo y proveer ejemplos no triviales de sistemas dinámicos no-arquimedianos.

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Automatas celulares permutacionales: convergencia en tiempo finito

Gabriela Rocio Lezama (Universidad Nacional de Salta, lgabrielarocio@gmail.com); Camilo Alberto Jadur (Universidad Nacional de Salta, jadur@unsa.edu.ar)

El conjunto límite asociado a un autómata celular es $\nabla\left(F\right) =\bigcap_{n \in \mathbb{N}}F^{n}\left( A^{\mathbb{N}}\right)$ $[1]$.Se forma con aquellos puntos $z$ de $A^{\mathbb{N}}$ tales que para todo $n \in \mathbb{N}$,$F^{-n}\left( \left\lbrace z\right\rbrace \right) \neq\emptyset$, permite estudiar aspectos de la dinámica asintótica de un autómata celular.
Un autómata celular alcanza su conjunto límite en tiempo finito si existe $n \in \mathbb{N}$ tal que $F^{n}\left( A^{\mathbb{N}}\right) = F^{n+1}\left( A^{\mathbb{N}}\right) $. Si no existe tal $n$, decimos que el autómata alcanza su conjunto límite en tiempo infinito.
Se estudian clases de autómatas celulares permutativos, llamados electores, asociados en forma biunívoca a códigos prefijos finitos. Sea $ \mathbb{E}$, el elector de un código $\mathrm{C}$, es básicamente: $\mathbb{E}\left( x \right)_{i}=\sigma^{\mathrm{l}\left(i\right)}{\left( x\right)}_i$ donde la transformación $\sigma$ definida por $\sigma(x)_i=x_{i+1}$ es continúa y $l(i)$ es la longitud del elemento de que comienza en la posición del punto.
Para los electores de códigos prefijos que no son sobreyectivos interesa conocer cómo se llega al conjunto límite, subshift invariante maximal, y cómo se relacionan los parámetros del código con el conjunto límite de su elector. Algunos casos particulares están resueltos en $[2]$. Por ejemplo se probó que bajo ciertas propiedades (denominadas $[P1]$ y $[P2]$ en $[2]$) se cumple que existen $l_1< l_0$ números naturales y $\mathbb{E}_\mathrm{C}\mid_{\mathrm{X}_\mathbb{F}}=\sigma^{\mathrm{l}_0}\mid_{\mathrm{X}_\mathbb{F}}$. En estos casos se llega al conjunto límite en tiempo finito.
En nuestro trabajo actual hemos conseguido ejemplos de códigos cuyos electores no convergen en tiempo finito y sin embargo la última igualdad de funciones, se satisface. Actualmente pretendemos clasificar condiciones mínimas suficientes para que la igualdad se realice.

Referencias: [1] S. Wolfram. Computation theory ofautómata celular 1984. Commun. Math. Phys. 96, p.15-57. [2] C.Jadur and J. Yazlle, On the dynamics of autómata celular induced from a prefix code. Advances in Applied Mathematics,Elsevier.2007 vol.38 n38. p27-53. issn 0196-8858.

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Autómatas celulares permutacionales: sensitividad a condiciones iniciales

Diego Luis Alberto (Universidad Nacional de Salta, diegoalberto@exa.unsa.edu.ar); Jorge Fernando Yazlle (Universidad Nacional de Salta, yazlle@unsa.edu.ar)

Este trabajo se enmarca en la teoría general de los sistemas dinámicos, y particularmente de los sistemas simbólicos. Consideramos que un sistema dinámico es un par $(X,F)$, con $X$ espacio métrico y $F$ transformación de $X$ continua con respecto a su métrica. De especial interés resulta el movimiento en el tiempo de los puntos de $X$ por acción de $F$, surgiendo el concepto de órbita de un punto $x$: la sucesión $\{F^nx\}_{n\in \mathbb N}$. Sistemas particularmente interesantes son los sensitivos a condiciones iniciales, en los que existe una constante de sensitividad $\epsilon >0$ tal que cualquier punto posee arbitrariamente cerca otro punto cuya órbita, en algún momento, se separa de la órbita de $x$ esa cantidad $\epsilon$. Un concepto más fuerte que el de sensitividad es el de expansividad positiva, en la que la condición de alejamiento de órbitas se produce para dos puntos cualesquiera del sistema. La verificación de si un sistema cumple estas propiedades puede ser difícil, aún en casos concretos.

Nos interesamos en los autómatas celulares, en los que $X$ es el conjunto de todas las sucesiones infinitas unidireccionales sobre un alfabeto finito, y $F$ es una transformación que determina el valor del transformado en cada coordenada mediante una regla local dependiente de una ventana fija alrededor de ella. Más precisamente, existe un radio $R \ge 0$ y una función $\mathbf{\Phi}$ de bloques tal que para cualquier $x\in X$ y cualquier $i\in\mathbb N$, $(F(x))_i=\mathbf{\Phi}(x_i,\cdots,x_{i+R})$. Una subclase interesante de los autómatas celulares es la de los permutacionales, en los que la regla local se define usando un código a cuyas palabras se asocia una permutación del alfabeto. Resulta interesante analizar propiedades del autómata así definido por medio de análisis combinatorial de las palabras del código.

Es conocido que no cualquier autómata permutacional es positivamente expansivo. Sin embargo, hay fuertes indicios de que todos son sensitivos a condiciones iniciales. Esa importante conjetura ya se encuentra demostrada parcialmente, sólo para el caso en que todas las palabras del código se asocian a una misma permutación del alfabeto. En esta charla mostraremos avances hacia la solución total de la conjetura, abarcando varios casos más generales que el antes mencionado.

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Dimensión de Assouad de conjuntos autosimilares en $\mathbb{R}^d$ con solapamientos

Ignacio Garcia (CEMIM, IFIMAR, Universidad Nacional de Mar del Plata y CONICET, nacholma@gmail.com)

Considerando la estructura tangente de un conjunto autosimilar no trivial $F\subset\mathbb{R}$, en [1] se prueba la siguiente dicotomía: si $F$ es atractor de un sistema de funciones iteradas que satisface la propiedad de separación débil (PSD), entonces las dimensiones de Hausdorff y Assouad de $F$ coinciden, mientras que si no se cumple la PSD entonces la dimensión de Assouad de $F$ es 1. También en [1] se muestra que esta dicotomía no se cumple en $\mathbb{R}^d$, pero si la PSD no se cumple, entonces la dimensión de Assouad es al menos $1$ (en caso de que el conjunto autosimilar no esté contenido en ningún hiperplano de dimensión $< d$). Para esta clase de conjuntos presentamos una fórmula para la dimensión de Assouad, que considera direcciones de solapamiento que emergen de la estructura tangente de tales conjuntos. Una cota inferior para la dimension de Assouad del conjunto es la dimensión del espacio vectorial generado por estas direcciones, con desigualdad estricta si la dimensión del espacio vectorial es estrictamente menor que $d$.

Bibliografía

[1] J. M. Fraser, A. M. Henderson, E. J. Olson, and J. C. Robinson. On the {A}ssouad dimension of self-similar sets with overlaps. Adv. Math., 273:188--214, 2015.

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Espacios shift de densidad controlada

Luca D Amico (Universidad Nacional de Salta, damico.1985@gmail.com); Francisco Seoane (Universidad Nacional de Salta, seonihil@gmail.com)

Se denomina full shift sobre el alfabeto finito $\mathcal{A}$ al conjunto de todas las funciones de $\mathbb{Z}$ en $\mathcal{A}$, es decir la familia de todas las sucesiones bi-infinitas en $\mathcal{A}$. Se lo dota de la topologia producto inducida por la topologia discreta en $\mathcal{A}$, resultando así un espacio compacto. La función $\sigma$ es la que corre cada término de una sucesión un lugar a la izquierda. Un espacio shift sobre $\mathcal{A}$ es un subconjunto del full shift que es cerrado y $\sigma$-invariante; equivalentemente, un subconjunto del full shift que puede describirse mediante un conjunto de bloques prohibidos.

Dadas una letra $a \in \mathcal{A}$ y una función $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$, se define el espacio shift de densidad controlada por $f$ como el conjunto de todos los puntos del full shift tal que la cantidad de veces que aparece la letra $a$ en una ventana arbitraria $u$ es limitada mediante $f(|u|)$. La elección de $f$ determina el espacio shift. Por ejemplo, la función $f$ tal que $f(2)=1$ y $f(n)=n, n \ne 2$ determina el shift de la razón de oro (aquel en que no hay dos $1$ consecutivos). Damos ejemplos de funciones que producen espacios shift interesantes y nos preguntamos la relación que hay entre las propiedades de $f$ y las propiedades del espacio shift que $f$ define. En particular, mostramos las condiciones sobre $f$ necesarias y suficientes para que el espacio correspondiente sea un shift de tipo finito (los que pueden definirse mediante un conjunto finito de bloques prohibidos).

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Generic Birkhoff Spectra

Zoltan Buczolich (ELTE Eotvos Lorand, buczo@caesar.elte.hu); Balazs Maga (ELTE Eotvos Lorand, magab@caesar.elte.hu); Ryo Moore (PUC-Chile, rymoore@mat.uc.cl)

Let $(\Omega, \sigma)$ be the full-shift of two alphabets, and $f$ be a continuous, real-valued function on it. Let $L_f$ be the set of all of the possible limiting values of the Birkhoff averages of $f$, i.e. \[ L_f := \left\{\alpha \in \mathbb{R} : \exists \, \omega \in \Omega \text{ such that } \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} f(\sigma^n \omega) = \alpha \right\}.\] For each $\alpha \in L_f$, we define the level set \[ E_f(\alpha) := \left\{\omega \in \Omega: \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} f(\sigma^n \omega) = \alpha\right\},\] and we define a function $S_f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, which we refer to as the Birkhoff spectra, as follows: \[ S_f(\alpha) := \left\{\begin{array}{ll} \dim_H(E_f(\alpha)) & \alpha \in L_f, \\ 0 & \alpha \notin L_f, \end{array}\right.\] where $\dim_H$ is the Hausdorff dimension.

In this talk, we will discuss shapes and properties of the Birkhoff spectrum $S_f$ for generic/typical continuous functions $f$ in the sense of Baire category. In particular, we will be interested in the behavior of the spectrum near the boundary of $L_f$, such as the continuity and the values of one-sided derivatives.

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Órbitas cerradas para un sistema semi-dinámico cerca de un equilibrio

Pablo Amster (Departamento de Matemática, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires e IMAS-CONICET, pamster@dm.uba.ar); Mariel Paula Kuna (Departamento de Matemática, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires e IMAS-CONICET, mpkuna@dm.uba.ar); Gonzalo Robledo (Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias, Universidad de Chile, grobledo@u.uchile.cl)

Sea $\Omega\subset \mathbb{R}^N$ un domino acotado con borde suave. Un resultado clásico de EDO dice que si una función suave $G:\overline\Omega\to \mathbb{R}^N$ apunta hacia adentro en $\partial\Omega$, entonces las soluciones del sistema autónomo \[ u'(t)=G(u(t))\] con dato inicial $u(0)=u_0\in \overline \Omega$ están definidas y se mantienen dentro de $\Omega$ para todo $t >0$.

Para $p$ continua y $T-$periódica, consideremos la siguiente perturbación del sistema original \[ u'(t)=G(u(t)) + p(t).\] Si $\overline\Omega$ tiene la propiedad de punto fijo, entonces el sistema tiene al menos una órbita $T-$periódica si $\|p\|_\infty$ es pequeña. Esto se debe al hecho de que $G(\cdot)+ p(t)$ sigue apuntando hacia adentro sobre $\partial\Omega$ para todo $t$; luego, el conjunto $\overline \Omega$ es invariante para el flujo asociado y, por lo tanto, el operador de Poincaré, dado por $Pu_0:=u(T)$, está bien definido para $u_0\in \overline\Omega$ y satisface $P(\overline\Omega)\subset \overline\Omega$. Más aún, por el teorema de Hopf se deduce que \[ deg_B(G,\Omega,0) = deg_B(-\nu,\Omega,0) = (-1)^N\chi(\Omega),\] donde $deg_B$ denota el grado de Brouwer, $\nu$ es la normal exterior y $\chi(\Omega)$ es la característica de Euler de $\Omega$.

Ahora supongamos que el sistema autónomo tiene un punto de equilibrio $e$; luego, por la propiedad de escisión del grado se prueba que para casi todos los valores de $\overline p$ en un entorno de $0\in \mathbb{R}^N$, la aplicación $G + \overline p$ tiene al menos $\Gamma$ raíces diferentes en $\Omega$, donde \[ \Gamma:=|\chi(\Omega)- (-1)^{N} sgn({\rm det}(DG(e)))| + 1.\] En consecuencia, empleando el lema de Sard-Smale, se ve que si $p\in C(\mathbb{R},\mathbb{R}^N)$ es $T$-periódica y $\|p\|_\infty$ es pequeña, entonces la cantidad de soluciones $T-$periódicas del sistema no autómono es, genéricamente, al menos $\Gamma$. Aquí, `genericamente' debe ser entendido en el sentido de las categorías de Baire.



La situación es diferente para el siguiente sistema de ecuaciones con retardo \[ u'(t) = g(u(t),u(t-\tau))\] donde $g:\overline\Omega\times \overline\Omega\to \mathbb{R}^N$ es continuamente diferenciable. En primer lugar, debido al retardo, la condición de que el campo $G(x):=g(x,x)$ apunte hacia adentro en $\partial \Omega$ no evita que las soluciones con dato inicial $x_0:=\phi\in C([-\tau,0],\overline\Omega)$ puedan eventualmente salir de $\overline\Omega$. En segundo lugar, las observaciones previas respecto al operador de Poincaré resultan menos obvias, ya que el operador ahora no está definido en el espacio de estados de dimensión finita $\overline\Omega$ sino un subconjunto del espacio de Banach $C([-\tau,0],\mathbb R^N)$.

En este trabajo mostraremos que, bajo condiciones apropiadas, las ideas anteriores para el caso sin retardo pueden extenderse a fin de obtener múltiples órbitas $T$-peródicas para perturbaciones no autónomas del sistema con retardo.

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Orders and actions on the line

Joaquin Brum (Usach, joaquinbrum@gmail.com); Cristóbal Rivas (Usach, cristo- bal.rivas@usach.cl); Maxime Wolff (Paris 6, maxime.wolff@imj-prg.fr)

A group G is left orderable if there exists a total order on G which is invariant under the action of G on intself by left multiplications. I turns out that G is left orderable if and only if G can act faithfully on the line by homeomorphisms.

The space of orders of a group G is a topological space that parametrizes all the ways in which G can be left ordered. We will talk about spaces of orders and a variation of these spaces introduced by Bertrand Deroin (The Deroin space of G) which turns to have a more dynamical flavor (it is related with the space of minimal actions of G). If there is time we will talk about our contribution in the description of some of these spaces.

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Special Sensitive System via Furstenberg family and its applications

Mauricio Diaz (Universidad del Bio Bio , mauricio.diazraby@gmail.com)

In this article we going to study the Sensitive system that can be described by a usual geometric form using a sub collection of elements of a Furstenberg family. We prove that a MDS without equicontinuous points has the form $(F_{ip} \cap F_{ps} \cap F_{pd1})^{*}$. At the end, we going to see some examples thrown basic simulations

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UMA SOMACHI
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