UMA 2022
Reunión Anual de la Unión Matemática Argentina
Un retículo de precontacto es un par $\langle L,\mathsf{C}\rangle$ donde $L$ es un retículo distributivo y $\mathsf{C}$ es una relación binaria, llamada de precontacto, que satisface las siguientes condiciones: si $a\mathsf{C}b$ entonces $a,b\neq0$ y $a\vee b\mathsf{C}c$ si y sólo si $a\mathsf{C}c$ o $b\mathsf{C}c$
Las relaciones de precontacto fueron primero estudiadas sobre álgebras de Boole en [2] y [4] como una generalización de las relaciones de contacto estudiadas en [3]. Las relaciones de precontacto también son una generalización de los operadores modales. Es un hecho conocido que en álgebras de Boole las nociones de relación de precontacto, relación de subordinación y operador cuasi-modal son interdefinibles. En retículos distributivos las nociones de subordinación y operador cuasi-modal también son interdefinibles, pero no ocurre lo mismo con las relaciones de precontacto. Esto amerita un estudio particular de este tipo de relaciones en retículos distributivos. El principal objetivo de este trabajo es estudiar las relaciones de precontacto en retículos distributivos.
En los artículos [2], [3] y [5] se estudian representaciones topológicas por medio de ciertos espacios $T_{0}$ dotados de una base especial de cerrados regulares. Nuestro objetivo es dar una representación relacional de los retículos de precontacto utilizando las técnicas desarrolladas en [1]. Por medio de esta representación caracterizamos relacionalmente a una clase de homomorfismos entre retículos de precontacto. También introducimos una clase de congruencia de retículos que preservan en cierto sentido la relación de contacto y que permite definir una relación de precontacto en el retículo cociente.
Trabajo en conjunto con: Sergio Celani (Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires).
Referencias
[1] Celani, S. Subordinations on Bounded Distributive Lattices. Order (2022).
[2] G. Dimov, D. Vakarelov, Topological representation of precontact algebras, in: W. MacCaull, M. Winter, I. Düntsch (Eds.), Relation Methods in Computer Science, in: Lecture Notes in Computer Science, vol. 3929, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2006, pp. 1--16.
[3] Düntsch, I., MacCaull, W., Vakarelov, D., and Winter, M.: Distributive contact lattices: Topological representation. J. Logic Algebraic Program. 76, (2008), 18--34
[4] Düntsch I. and Vakarelov D.: Region-based theory of discrete spaces: a proximity approach.Ann. Math. Artif. Intell., 49 (1-4), (2007), 5--14.
[5] Ivanova T. and Vakarelov D.: Distributive mereotopology: extended distributive contact lattices, Annals of Mathematics and Artificial Intelligence, (2016), 77, 3--41.
Un $\textit{reticulado residuado}$ es una estructura $\textbf{A} = \langle A, \land, \lor, *, \to, 0, 1\rangle$ del tipo $\langle 2,2,2,2,0,0 \rangle$ tal que $\langle A,\land,\lor,0,1 \rangle$ es un reticulado acotado, $\langle A, *,1 \rangle$ es un monoide conmutativo y además se satisface la condición de residuación \begin{equation*} x * y \leq z \Leftrightarrow x \leq y \to z \end{equation*} para todo $x,y,z \in A$. Dado un reticulado residuado $\textbf{A}$ diremos que un mapeo $f:A \to A$ es un $\textit{núcleo}$ sobre $\textbf{A}$ si es un operador de clausura que satisface \begin{equation*} f(x) * f(y)\leq f(x * y) \end{equation*} para todo $x,y \in A$. El concepto de núcleo fue originalmente definido en el contexto de álgebras Brouwerianas y de quantales [1,2]. Para reticulados residuados el concepto fue introducido por Galatos y Tsinakis en [3], donde fue utilizado para dar algunas caracterizaciones de $\mathbb{MV}$-álgebras generalizadas. Otro interés por estudiar los núcleos sobre un reticulado residuado surge a partir del hecho de que el conjunto de elementos regulares $Reg_f(\textbf{A}) := \left\lbrace a \in A: f(a) = a \right\rbrace$ admite una estructura natural de reticulado residuado y el conjunto de elementos densos $Ds_f(\textbf{A}) := \left\lbrace a \in A: f(a) = 1 \right\rbrace$ define un filtro implicativo sobre $\textbf{A}$. Para más información sobre reticulados residuados y núcleos recomendamos ver [4,5]. Dada $\mathbb{V}$ una subvariedad de $\mathbb{RL}$ diremos que un término $t(x)$ en el lenguaje de reticulados residuados es un núcleo sobre $\mathbb{V}$ si la interpretación $t^\textbf{A}$ es un núcleo sobre $\textbf{A}$ para todo $\textbf{A} \in \mathbb{V}$. Ejemplos clásicos de núcleos sobre subvariedades de $\mathbb{RL}$ son los términos $t(x) = x$, $t(x) = \neg \neg x$ y $t(x) = 1$, a los que llamaremos núcleos triviales. En esta presentación mostraremos, entre otros resultados clásicos, algunos resultados sobre núcleos en las subvariedades $\mathbb{H}$, $\mathbb{G}$, $\Pi$, $\mathbb{MV}$ y $\mathbb{BL}$. Mostraremos, por ejemplo, que los únicos núcleos sobre dichas variedades son los triviales. Algunas herramientas que utilizaremos para probar dichos resultados son una caracterización ecuacional de núcleos, descripciones conocidas de álgebras libres uno generadas y descripciones de álgebras canónicas que generan a dichas variedades.
Referencias
[1] J. Schmidt, C. Tsinakis. Relative pseudo-complements, join-extensions and meet-retractions. Mathematische Zeitschrift 157 (271-284), 1977.
[2] K. I. Rosenthal. Quantales and their applications. Pitman Research Notes in Mathematics 234, Longman 1990.
[3] N. Galatos, C. Tsinakis. Generalized MV-algebras. Journal of Algebra 283 (254-291), 2005.
[4] N. Galatos, P. Jipsen, T. Kowalski, H. Ono. Residuated Lattices: An Algebraic Glimpse at Substructural Logics. Studies in Logics and the Foundations of Mathematics, Elsevier 2007.
[5] S.-W. Han, B. Zhao. Nuclei and conuclei on residuated lattices. Fuzzy Sets and Systems 172 (51-70), 2011.
Los semigrupos implicativos $\langle A,\rightarrow, \cdot, 1 \rangle $ no necesariamente conmutativos, donde el último elemento 1 coincide con el elemento neutro del monoide $\langle A,\cdot, 1\rangle$, fueron introducidos por N. Chan y K. Shum en [2] como una generalización de los semi-retículos implicativos (ver [4]). Aquí mostramos que son exactamente los $\{\cdot,\rightarrow, 1\}$-subreductos de los retículos residuados integrales, donde $\rightarrow$ indica la residuación a derecha.
En esta charla trabajaremos con un tipo especial de filtros definidos en semigrupos implicativos, a los que denominamos s-filtros, los cuales fueron introducidos en [3]. Las distintas caracterizaciones obtenidas de s-filtros nos permitieron mostrar la existencia de un isomorfismo de orden entre ellos y las congruencias relativas definidas en semigrupos implicativos, es decir, aquellas congruencias que hacen que su álgebra cociente sea también un semigrupo implicativo.
Trabajo en conjunto con: Daniela Montangie (Universidad Nacional del Comahue, Argentina).
Referencias
[1] V. Castaño, D. Montangie; Filters and relative congruences in Implicative Semigroups, en referato actualmente.
[2] M. W. Chan, K. P. Shum; Homomorphisms of Implicative Semigroups. Semigroup Forum 46, 7-15 (1993).
[3] Y. B. Jun, K. H. Kim; On ideales of Implicative Semigroups. International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences 27, 77-82 (2001)
[4] W. C. Nemitz; Implicative semi-lattices, Trans. Amer. Math. Soc. 117, 128-142 (1965).
La lógica proposicional paraconsistente {\bf Ciore} fue desarrollada por Carnielli, Marcos y de Amo en el contexto del estudio de bases de datos inconsistentes. Esta lógica tiene características muy particulares como la propagación y retropropagación del operador de consistencia, además, es algebrizable en el sentido de Blok y Pigozzi. Un estudio detallado de la versión de primer orden de {\bf Ciore}, {\bf QCiore}, puede encontrarse en [3]. En [1], presentamos un cálculo de secuentes libre de corte, {\bf ${\cal G}$Ciore}, correcto y completo con respecto a {\bf Ciore}, aplicando el método general desarrollado en [2].
En esta oportunidad, continuamos con el estudio iniciado en [1]. En primer lugar, introducimos la noción de {\em subfórmula generalizada} para {\bf Ciore} y probamos que {\bf ${\cal G}$Ciore} goza de la Propiedad de la Subfórmula Generalizada. Esto es, toda prueba libre de corte en {\bf ${\cal G}$Ciore} tiene la propiedad que todas las fórmulas que intervienen en cualquier secuente de la prueba, son subfórmulas generalizadas de fórmulas en el secuente final de la prueba. Como consecuencia de esto, establecemos un proceso de desición para {\bf ${\cal G}$Ciore}, permitiendonos concluir que la lógica {\bf Ciore} es decidible. Otra consecuencia interesante del Teorema de Eliminación de Corte, es que, si bien {\bf Ciore} es una lógica paraconsistente (y, por lo tanto, no necesariamente explota ante una contradicción), en {\bf ${\cal G}$Ciore} ninguna contradicción es demostrable.\\ Finalmente, extendemos {\bf ${\cal G}$Ciore} a un cálculo de secuentes de primer orden {\bf ${\cal G}$QCiore} encontrando las reglas que regulan el comportamiento de los cuantificadores y su interacción con el operador de consistencia. Probamos el correspondiente Teorema de Correctitud y, aplicando la técnica de Sch\"utte, probamos los teoremas de Completitud y Eliminación de Corte.
Trabajo en conjunto con: Martín Figallo (Universidad Nacional del Sur, Argentina).
Referencias
[1] V. Arce Pistone, & M. Figallo. Cálculo de secuentes con eliminación de corte para una lógica paraconsistente. Libro de resumenes de la LXX Reunión de Comunicaciones Científicas, virtUMA 2021.
[2] Avron, A., Ben-Naim, J. & Konikowska, B. (2007). Cut-Free Ordinary Sequent Calculi for Logics Having Generalized Finite-Valued Semantics. Log. univers. 1, 41–70.
[3] Coniglio, M., Gomez-Pereira, G., & Figallo, M. (2021). Some model theoretic results on the 3-valued paraconsistent first-order logic QCiore. The Review of Symbolic Logic, 14(1), 187-224.
XPath (XML Path Language) es uno de los lenguajes más conocidos para realizar consultas sobre documentos XML. El lenguaje provee mecanismos para navegar la estructura de dichos documentos, y también funcionalidades para realizar consultas y operaciones sobre los mismos. El fragmento navegacional de XPath se conoce como Core-XPath. Este fragmento permite expresar propiedades estructurales de un documento XML tales como: el nombre de un atributo de un nodo, cuales son sus ancestros, descendientes, etc., pero no puede expresar condiciones referidas al contenido de un documento XML. Esta limitación de Core-XPath deja de lado, por ejemplo, la posibilidad de realizar operaciones de join de documentos XML. La extensión de Core-XPath con tests de igualdad o desigualdad permite salvar esta limitación. Esta extensión se la conoce con el nombre de Core-Data-XPath.
Core-XPath ha sido ampliamente estudiado desde una perspectiva de lógica modal; y este enfoque se ha extendido, más recientemente, a Core-Data-XPath. De particular importancia en nuestro caso es el trabajo reportado en [1]. Allí se propone una lógica llamada HXPath$_{=}$. Una de las características principales de HXPath$_{=}$ es la incorporación de expresiones de la forma $\langle \alpha = \beta \rangle$ (como así también $\langle \alpha \neq \beta \rangle$) donde $\alpha$ y $\beta$ son intuitivamente entendidas como expresiones navegacionales o de camino, mientras que $=$ (y $\neq$) son intuitivamente entendidos como operaciones de comparación entre los datos existentes al final de los caminos denotados por $\alpha$ y $\beta$. Como característica distintiva, HXPath$_{=}$ incorpora nominales y el operador de satisfacibilidad $@$ provenientes del mundo de la Lógica Híbrida [2] en su lenguaje lógico. Esto último facilita su axiomatización y permite la obtención de un resultado de completitud al estilo de Henkin.
La lógica HXPath$_{=}$ se encuentra definida sobre una base modal clásica. Nuestro trabajo propone una visión alternativa de HXPath$_{=}$ construida sobre una base modal intuicionista. Esta propuesta gana en interés ya que dota de una lectura intuicionista a Core-Data-XPath permitiéndonos distinguir entre la forma de razonar y el objeto sobre el cual razonamos.
En concreto, nuestro trabajo propone reemplazar la base modal híbrida clásica de HXPath$_{=}$ por la base modal híbrida intuicionista presentada en [3]. Tal reemplazo resulta en una nueva lógica para Core-Data-XPath la cual llamaremos IHXPathC.
Desde el punto de vista semántico, nuestra propuesta toma los modelos modales híbridos intuicionistas propuestos en [3] y los extiende con: (i) múltiples modalidades las cuales nos permiten modelar expresiones de caminos; (ii) múltiples modalidades de comparación por igualdad/desigualdad las cuales nos permiten modelar comparaciones de datos por distintos atributos. Crucialmente, las relaciones de igualdad y desigualdad sobre esta base intuicionista no son complementarias. En un contexto clásico, la igualdad puede entenderse como el complemento de la desigualdad, y vice-versa. En un contexto intuicionista, la falla de comparación por igualdad entre dos datos, no puede ser usada como prueba de que los datos son distintos.
En línea con el enfoque intuicionista propuesto en [3], en IHXPathC cada estado de conocimiento puede entenderse como un modelo de HXPath$_{=}$. Sobre esos estados de conocimiento definimos una relación de orden parcial epistémico la cual puede demostrarse preserva conocimiento. Más precisamente, al avanzar a un estado de conocimiento mayor los modelos de HXPath$_{=}$ son modificados monótonamente.
El trabajo en progreso actual busca axiomatizar la clase de modelos definida para IHXPathC usando como punto de partida el sistema axiomático para la lógica híbrida intuicionista presentado en [3], junto con el sistema axiomático para HXPath$_{=}$ presentado en [1].
El objetivo final es el de obtener una axiomatización correcta y completa para IHXPathC.
Trabajo en conjunto con: Carlos Areces (Universidad Nacional de Córdoba, Argentina), Valentin Cassano (Universidad Nacional de Córdoba, Argentina) y Raul Fervari (Universidad Nacional de Córdoba, Argentina).
Referencias
[1] Carlos Areces and Raul Fervari. Axiomatizing hybrid xpath with data. Logical Methods in Computer science, 17(3), 2021.
[2] Carlos Areces and Balder ten Cate.Hybrid Logics, pages 821–868. Elsevier, 2007.
[3] Torben Braüner. Hybrid Logic and its Proof-Theory. Springer, 2011.
En el ámbito interdisciplinario entre la lógica y la inteligencia artificial, la representación del conocimiento y el razonamiento se utiliza para, por ejemplo, modelizar la toma de decisiones de un agente. Éste recibe constantemente y a lo largo de su ciclo de vida nueva información sobre sí mismo y su entorno. La forma en que filtra, resume y almacena esta nueva información es de vital importancia para la calidad de sus elecciones.
Existen muchas teorías formales para representar la dinámica de integración de nueva información, entre la que se destaca el modelo AGM [1] y sus operadores de contracción y revisión de creencias. En esta comunicación presentamos un nuevo operador no priorizado para el cambio de creencias en el marco de Katsuno y Mendelzon [2], llamado revision moderada. El operador propuesto pretende dar un equilibrio entre la certeza y la duda, como un modelo más adecuado y general para el cambio de creencias, donde la revisión y la contracción son situaciones extremas para la certeza y la duda respectivamente.
Nuestra propuesta está inspirada en los operadores de promoción, desarrollada en [4] y continúa el trabajo hecho en [5]. Proponemos un conjunto de postulados y proporcionamos un teorema de representación que lo caracteriza. Mostramos que nuestro enfoque es dual al de Booth et al. [3], donde la nueva información se acepta solo si es una fórmula que pertenece al alcance de un límite de credibilidad de la información anterior. También mostramos algunas propiedades específicas del operador propuesto que corresponden a las características de la teoría de revisión de credibilidad limitada.
Trabajo en conjunto con: M. Vanina Martinez (DC-FCEyN-UBA y ICC-UBA-CONICET) y Ricardo O. Rodriguez (DC-FCEyN-UBA y ICC-UBA-CONICET).
Referencias
[1] C. E. Alchourrón, P. Gärdenfors y D. Makinson. On the logic of theory change: Partial meet contraction and revision functions, Journal of Symbolic Logic - Vol. 50, pp. 510--530. 1985.
[2] H. Katsuno, y A. Mendelzon. A unified view of propositional knowledge base update, Proceedings of the 11th international joint conference on Artificial intelligence - Vol. 2, pp. 1413--1419. 1989.
[3] R. Booth, E. Fermé, S. Konieczny y R. Pino Pérez. Credibility-Limited Revision Operators in Propositional Logic, Proceedings of the Thirteenth International Conference on the Principles of Knowledge Representation and Reasoning, pp. 116--125. 2012.
[4] N. Schwind, S. Konieczny y P. Marquis. On Belief Promotion, Proceedings of the Sixteenth International Conference on Principles of Knowledge Representation and Reasoning (KR 2018), pag. 297-306. 2018.
[5] D. Grimaldi, M.V. Martinez y R.O. Rodriguez. Updating the Belief Promotion Operator. Proceedings of IJCAI2021. 2021.
Como es bien sabido, Cohen demostró mediante la técnica de forzamiento o “forcing” que la Hipótesis del Continuo ($\mathit{CH}$) no se sigue de los axiomas $\mathit{ZFC}$ de la teoría de conjuntos, ganando así una medalla Fields.
$\mathit{ZFC}$ no es finitamente axiomatizable, y posee dos esquemas de axiomas: Reemplazo y Separación (que en realidad es reducible al primero). En esta charla contaré algunos detalles sobre nuestra formalización en computadora, usando el asistente de pruebas Isabelle, de dicho resultado de Cohen. Uno de los puntos destacados es que identificamos un conjunto de 34 instancias del Axioma de Reemplazo que son suficientes para “construir” modelos contables transitivos de $\mathit{CH}$ y su negación.
Trabajo en conjunto con: Emmanuel Gunther (Universidad Nacional de Córdoba, Argentina), Miguel Pagano (Universidad Nacional de Córdoba, Argentina) y Matías Steinberg (Universidad Nacional de Córdoba, Argentina).
A diferencia del caso clásico, los operadores intuicionistas necesidad $\left( \square\right) $ y posibilidad $\left( \Diamond\right) $ no son duales, lo cual nos brinda más posibilidades para definir diferentes lógicas intuicionistas modales. En la literatura de la lógica modal intuicionista, existen tres lógicas modales básicas: la lógica $\mathbf{IntK}_{\square}$ definida en el lenguage con un operador modal $\square,$ la lógica $\mathbf{IntK}_{\Diamond}$ definida en el lenguaje con un operador modal $\Diamond$ y la lógica $\mathbf{IntK}_{\square\Diamond}$ definida en el lenguaje con dos operados modales $\square$ y $\Diamond$.
Entre las lógicas intuicionistas modales que extienden la lógica $\mathbf{IntK}_{\square\Diamond}$ la lógica $\mathbf{FS,}$ definida y estudiada por G. Fischer Servi en [4], juega un rol relevante. La semántica relacional de $\mathbf{FS}$ son marcos de Kripke bi-relacionales $\left\langle X,\leq,R\right\rangle $ donde $\leq$ es un cuasi-orden definido en \ $X$ y $R$ una relación binaria de accesibilidad para los operadores modales que satisface las siguientes condiciones de primer orden:
$\mathrm{(RFS1)}$: $\left( \leq^{1}{\circ}R\right) \subseteq\left( R{\circ}\leq^{-1}\right) $,
$\mathrm{(RFS2)}$: $\left( R{\circ}\leq\right) \subseteq\left( \leq{\circ}R\right) $.
Estas condiciones relacionales se corresponden con los siguientes axiomas característicos de $\mathbf{FS}$
$\mathrm{(FS1)}$: $\Diamond\left( \alpha\rightarrow\beta\right) \rightarrow\left( \square\alpha\rightarrow\Diamond\beta\right) $,
$\mathrm{(FS2)}$: $\left( \Diamond\alpha\rightarrow\square\beta\right) \rightarrow\square(\alpha\rightarrow\beta)$.
En esta charla introducimos a las álgebras de Hilbert Fischer Servi que son el fragmento positivo de la lógica $\mathbf{FS}$. Son álgebras de Hilbert con supremo en las que se definen dos operadores modales $\square$ y $\Diamond$ que satisfacen ciertas ecuaciones que los inter-relacionan. Mostramos una dualidad del tipo espectral para las álgebras de Hilbert Fischer Servi, utilizando espacios topológicos sober dotados de una relación binaria, la cual es utilizada para representar los operadores $\square$ y $\Diamond$ en el álgebra dual. Esta dualidad está basada en la representación topológica para las álgebras de Hilbert acotadas con supremo dada en [1], y en las representaciones topológicas para las álgebras de Hilbert modales con operador necesidad y posibilidad dadas en [2] y [3], respectivamente.
Referencias
[1] S. A. Celani and D. Montangie, Hilbert Algebras with supremum, Algebra Universalis Vol. 67, No. 3 (2012), pp. 237-255.
[2] S. A. Celani and D. Montangie, Hilbert Algebras with a necessity modal operator, Reports on Mathematical Logic, 49, (2014), pp. 47-77.
[3] S. A. Celani and D. Montangie, Hilbert Algebras with a modal operator $\Diamond$, Studia Logica Vol. 103, Issue 3 (2015), pp. 639-662.
[4] }G. Fischer Servi, Axiomatizations for some intuitionistic modal logics. Rendiconti del Seminario Matematico della Universit`a Politecnica di Torino 42 (1984), pp. 179-194.
En [2] se introduce una clase de álgebras que denominaron BL-álgebras monádicas $\langle\mathbf{A},\forall,\exists \rangle$ como BL-álgebras $\mathbf{A}$ dotadas con dos operadores monádicos $\forall,\exists$ y en [3] se continuó el estudio en la subvariedad $\mathbb{MG}$ de las álgebras de Gödel monádicas, la semántica algebraica equivalente de la expansión S5-modal de la lógica Gödel[5], dicha lógica es equivalente al fragmento monádico en una variable de la lógica de Gödel de primer orden. Además se presenta una dualidad topológica, los MG-espacios.
En esta comunicación presentaremos dos resultados, ya es conocido que la imagen del operador “$\exists$” de una álgebra de Gödel monádica $\mathbf{A}$ es una subálgebra de Gödel y que por lo tanto tiene su espacio de Gödel(root system Esakia Space) asociado, mostraremos como obtener de manera natural el dual de $\exists\mathbf{A}$ a partir del dual de $\mathbf{A}$. Por otro lado, veremos que los MG-espacios se corresponden con ciertos marcos de Kripke aumentados perfectos definidos por Bezhanishvili en [1].
Trabajo en conjunto con: Diego Castaño (Depto. de Matemática (UNS) - INMABB (UNS-CONICET)) y Patricio Díaz Varela (Depto. de Matemática (UNS) - INMABB (UNS-CONICET)).
Referencias
[1] Bezhanishvili, G., Varieties of monadic Heyting Algebras. Part II: Duality Theory, Studia Logica 62(1):21–48, 1999.
[2] Castaño, D., C. Cimadamore, J. P. Díaz Varela, and L. Rueda, Monadic BL- algebras: The equivalent algebraic semantics of Hájek’s monadic fuzzy logic, Fuzzy Sets and Systems 320:40–59, 2017.
[3] Castaño, D., C. Cimadamore, J. P. Díaz Varela, and L. Rueda, Completeness for monadic fuzzy logics via functional algebras, Fuzzy Sets and Systems 407, 161-174, 2021.
[4] D. Castaño, C. Cimadamore, J.P. Díaz Varela, L. Rueda, An algebraic study of S5-modal Gödel logic. Studia Logica 109 (5), 937-967, 2021.
[5] P. Hájek, Metamathematics of fuzzy logic, Trends in Logic - Studia Logica Library, 4. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1998, viii+297 pp.
El $\{\neg\}$-fragmento de lógica clásica es la lógica proposicional sobre el lenguaje $\{\neg\}$ de tipo (1) definida de manera usual por la matriz $\langle{\bf 2}_\neg,\{1\}\rangle$, donde ${\bf 2}_\neg=\langle\{0,1\},\neg\rangle$ es el reducto algebraico del álgebra de Boole de dos elementos. En [2] se afirma que este fragmento posee una axiomatización estilo Hilbert finita, pero no se da explícitamente dicho sistema. En esta comunicación presentaremos una axiomatización estilo Hilbert y un cálculo estilo Gentzen para el $\{\neg\}$-fragmento de la lógica clásica. A partir de estos dos sistemas (Hilbert y Gentzen) estudiaremos las clases de álgebras que se asocian a este fragmento de manera estándar en Lógica Algebraica (véase [1] pag. 203, 273 y 307).
Referencias
[1] J. M. Font. Abstract Algebraic Logic. An Introductory Textbook, volume 60 of Studies in Logic. College Publications, London, 2016.
[2] W. Rautenberg. 2-element matrices. Studia Logica, 40(4):315--353, 1981.
En este trabajo estudiaremos los órdenes parciales left star, star y core definidos sobre matrices. En particular, para cada uno de los órdenes parciales anteriores mostraremos un isomorfismo de orden entre el decreciente de una matriz fija $B$ y cierto conjunto ordenado de proyectores ortogonales. A partir de estos isomorfismos, estudiaremos la estructura de retículo de cada decreciente y daremos algunas propiedades. Mostraremos que el decreciente de una matriz fija $B$ ordenado por el orden parcial core y por el orden parcial star son subretículos del decreciente de $B$ ordenado por el orden parcial left star.
L. Sauras-Altuzarra fue financiado por FWF Austria, proyectos I 4427 y P 31955; N. Thome fue financiado por el Ministerio de Economía y Competitividad de España (Red de Excelencia, MTM2017-90682-REDT), por Universidad Nacional de Río Cuarto (PPI 083/2020), y por la Universidad Nacional de La Pampa, Facultad de Ingeniería (Res. 135/19).
Trabajo en conjunto con: L.A. Rueda (Departamento de Matemática, Universidad Nacional del Sur (UNS), Bahía Blanca, Argentina), L. Sauras-Altuzarra (Institut für Diskrete Mathematik und Geometrie, TU Wien, Wiedner Hauptstrasse 8-10/104, A-1040, Vienna, Austria) y N. Thome (Instituto Universitario de Matemática Multidisciplinar, Universitat Politècnica de València, 46022, Valencia, España).
Referencias
[1] C. R. Cimadamore, L. A. Rueda, L. Sauras-Altuzarra y N. Thome, Lattice properties of partial orders for complex matrices via orthogonal projectors, en referato actualmente.
[2] J. K. Baksalary y S. K. Mitra, Left-star and right-star partial orderings, Linear Algebra and its Applications, 149 (1991), 73--89.
[3] O. M. Baksalary y G. Trenkler, Core inverse of matrices, Linear and Multilinear Algebra, 58 (2010), 681--697.
[4] M. P. Drazin, Natural structures on semigroups with involutions, Bull. Amer. Math. Soc., 84 (1978), 139--141.
[5] S. B. Malik, L. Rueda y N. Thome, Further properties on the core partial order and other matrix partial orders, Linear and Multilinear Algebra, 62 (2014), 1629--1648.
En [1], J. Ciuciura definió una jerarquía de lógicas (que indicaremos como $\{Ciu^n\}_{n \geq 0}$) que pudiesen diferenciar dos principios que no son generalmente válidos dentro de la lógica paraconsistente:
$\bullet$ $\alpha, \neg \alpha \vdash \beta$ ($TP$: principio de trivialización o explosión)
$\bullet$ $\vdash \neg (\alpha \wedge \neg \alpha)$ ($NCP$: principio de no contradicción)
\
La semántica dada en [1] para dichas lógicas está basada en bivaluaciones: funciones $w: Fm \to \{{\bf 0},{ \bf 1}\}$ que no son necesariamente homomórficas. De hecho, este tipo de semántica es bastante usual en el contexto de diversas lógicas paraconsistentes (ver [2], [3], [4]). Surge aquí el siguiente problema, que se abordará en esta comunicación: ¿Dichas lógicas poseen alguna semántica dada por una matriz finita, cuyas valuaciones son homomorfismos? Como respuestas parciales a esta pregunta puede verse fácilmente que:
$-$ $Ciu^0$ es la Lógica Clásica.
$-$ $Ciu^1$ coincide con la lógica paraconsistente $P^1$ de Sette (ver [5]).
\
En relación a las otras lógicas de la jerarquía, veremos que $Ciu^2$ también posse semántica matricial finita. Por otro lado, se indicarán las condiciones adicionales que deben reunir $Ciu^n$ (con $n \geq 3$) para poder admitir una semántica matricial.
Finalmente, se procederá a realizar el mismo análisis a la jerarquía alternativa de Ciuciura, $\{Ciu^{\ast n}\}_{n \geq 0}$, también presentada en [1].
Trabajo en conjunto con: Gabriela Eisenberg (Instituto en Ciencias Básicas - Área Matemática; Universidad Nacional de San Juan).
Referencias
[1] J. Ciuciura. Sette's Calculus $P^1$ and some Hierarchies of Paraconsistent Systems. Journal of Logic and Computation, 30: 1109--1124, 2020.
[2] N. da Costa; E. Alves. A semantical analysis of the calculi $C_n$. Notre Dame Journal of Formal Logic, 18: 621-630, 1977.
[3] V. Fernández; M. Coniglio. Combining Valuations with Society Semantics. Journal of Applied Non-Classical Logics, 13: 21--46, 2003.
[4] V. Quiroga; V. Fernández. A Simplified Completeness Proof for the Paraconsistent Logic $C_1$. Aceptado para su publicación en el South American Journal of Logic. En prensa.
[5] A. Sette. On the propositional calculus $P^1$. Mathematica Japonicae, 18: 181--203, 1973.
Existen varios enfoques para tratar con la incertidumbre. La teoría de probabilidades se utiliza para medir el grado de certeza que un agente posee sobre la ocurrencia de un evento. Una medida de probabilidad es una función $\mu$ definida sobre una $\sigma$-álgebra $\mathcal{A}$, que asigna a cada evento $U\in\mathcal{A}$ un número real en el intervalo $[0,1]$. Un problema surge cuando desconocemos la medida de probabilidad exacta pero disponemos de un conjunto $\mathcal{P}=\{\mu_i\}_{i\in I}$ de medidas definidas sobre la misma álgebra. Podemos considerar entonces las medidas de probabilidad superior $\mathcal{P}^*(U)=\sup\{\mu_i(U)| i\in I\}$ e inferior $\mathcal{P}_*(U)=\inf\{\mu_i(U)| i\in I\}$, que brindan cotas sobre la probabilidad de $U$.
La lógica modal probabilista se puede utilizar para expresar las probabilidades de eventos y razonar sobre ellas. La teoría de coálgebras, por otro lado, permite modelar en forma unificada aspectos de los marcos de Kripke, marcos probabilísticos, autómatas y sistemas etiquetados de transición probabilísticos, entre otros. En este trabajo buscamos generalizar estos modelos para incluir las medidas de probabilidad superiores e inferiores.
Para una categoría $\mathbf{C}$, y un endofuntor $T$ en $\mathbf{C}$, una $T$-coálgebra es un par $(X,\alpha)$, donde $X$ es un objeto de $\mathbf{C}$, y $\alpha$ es un morfismo de $X$ en $TX$. En [1] se define una clase de funtores polinomiales en espacios medibles, y se detalla el lenguaje de la lógica modal coalgebraica para estos funtores trabajando en forma semántica. Esta semántica fue axiomatizada por Goldblatt [2], que además probó la completitud fuerte para ciertos sistemas deductivos Lindenbaum.
Apelamos a resultados de [3] quienes definieron una lógica modal correcta y fuertemente completa para probabilidades superiores e inferiores, usando una caracterización de las medidas de probabilidad superior sobre un álgebra de conjuntos (en vez de una $\sigma$-álgebra), que fue demostrada en 1985 por Anger y Lembcke [4].
En este trabajo definimos una clase de funtores polinomiales que incorpora aquellos obtenidos aplicando el operador $\Delta^*$, que a partir de un espacio medible $X$ permite obtener el espacio $\Delta^*X$ de medidas de probabilidades superiores definidas sobre $X$. Damos un sistema deductivo axiomático para cada funtor $T$, probamos que su lógica asociada es correcta y damos un resultado de completitud. Luego, extendemos estos sistemas para incluir también el operador $\Delta$ que se refiere a las medidas de probabilidad finitamente aditivas.
Trabajo en conjunto con: Ignacio Viglizzo.
Referencias
[1] Lawrence S. Moss and Ignacio D. Viglizzo. Harsanyi type spaces and final coalgebras constructed from satisfied theories. In Proceedings of the Workshop on Coalgebraic Methods in Computer Science, volume 106 of Electron. Notes Theor. Comput. Sci., pages 279–295. Elsevier Sci. B. V., Amsterdam, 2004.
[2] Robert Goldblatt. Deduction systems for coalgebras over measurable spaces. J. Logic Comput., 20(5):1069–1100, 2010.
[3] Nenad Savić, Dragan Doder, and Zoran Ognjanović. A logic with upper and lower probability operators. In ISIPTA ’15: Proceedings of the Ninth International Symposium on Imprecise Probability: Theories and Applications, pages 267–276, 2015.
[4] Bernd Anger and Jörn Lembcke. Infinitely subadditive capacities as upper envelopes of measures. Z. Wahrsch. Verw. Gebiete, 68(3):403–414, 1985.
Una lógica temporal es cualquier sistema formal (de axiomas y/o reglas) que permite representar y razonar acerca de proposiciones cualificadas en términos del tiempo. La lógica temporal tiene importantes aplicaciones en el campo de la verificación formal donde es utilizada para establecer requerimientos de sistemas de hardware o software. La lógica minimal temporal ( minimal tense logic) a la que da lugar el sistema $K_t$ de E. J. Lemmon, establece un conjunto de relaciones mínimas entre los operadores $G$ (``siempre será el caso que'') y $H$ (``siempre ha sido el caso que''). Por lo que, toda lógica temporal resulta ser una extensión de $K_t$.
Por otra parte, un álgebra temporal es una estructura (1) $\langle A, H, G\rangle$ donde $A$ es un álgebra de Boole; y $H$ y $G$ son operadores unarios definidos sobre $A$ que verifican las identidades: $$G1\approx 1 \hspace{1cm} H1\approx 1 $$ $$G(x\wedge y)\approx Gx \wedge Gy \hspace{1cm} H(x\wedge y)\approx Hx \wedge Hy $$ $$\neg x \vee G\neg H\neg x\approx 1 \hspace{1cm} \neg x \vee H\neg G\neg x\approx 1$$
Si en lugar de tomar un álgebra de Boole en (1), tomamos un álgebra de De Morgan (Heyting, Nelson etc.) obtenemos una nueva clase de estructura (algebraica) temporal.
En este trabajo nos interesamos en la lógica que preserva grados de verdad con respecto a diferentes estructuras temporales. En primer lugar, probamos que la lógica que preserva grados de verdad con respecto a las álgebras temporales es precisamente $K_t$. Además, presentamos un cálculo de secuentes correcto y completo con respecto a este sistema y hacemos lo propio para otras clases de estructuras temporales. Finalmente presentamos algunos cálculos de secuentes libres de corte para fragmentos de dichos sistemas.
Trabajo en conjunto con: Aldo V. Figallo (Universidad Nacional del Sur, Argentina) y Martín Figallo (Universidad Nacional de San Juan, Argentina).
Referencias
[1] Figallo, A. V., & Pelaitay, G. (2013). Tense operators on De Morgan algebras. Logic Journal of IGPL 22(2):255--267.
[2] Jarvinen, J., Kondo, M. & Kortelainen, J. (2008). Logics from Galois connections. International Journal of Approximate Reasoning 49:595--606
[3] Kowalski T. (1998). Varieties of tense algebras, Reports on Mathematical Logic 32:53--95.
[4] Sadrzadeh, M., & Dyckhoff, R. (2009). Positive logic with adjoint modalities: proof theory, semantics and reasoning about information. Electronic Notes of Theoretical Computer Science, 249: 451--470.
Antonio Monteiro desarrolló varias técnicas para el estudio de sistemas algebraicos. Una de las mas importantes tal vez sea la caracterización de las congruencias por medio de los sistemas deductivos. La mayoría de las estructuras estudiadas tienen una estructura ordenada de retículo distributivos. Posteriormente, Aldo Victorio Figallo adaptó estas técnicas a estructuras más generales tales como álgebras de Tarski, de Lukasiewicz residuadas con o sin operadores (fragmentos implicativos de un MV-álgebras), de Hilbert $n$-valentes modales, etc. Por otro lado, A. Monteiro estudió las congruencias maximales por medio de los sistemas deductivos ligados a un elemento, estas técnicas fueron usadas por él y otros autores en las clases de álgebras mencionadas.
En esta charla presentaremos a la clase de álgebras de Monteiro, que capturen los sistemas estudiados por Monteiro y Figallo. A cada álgebra de Monteiro se le puede definir una implicación primitiva o derivada del conjunto finitario de operaciones del lenguaje, donde la noción de sistema deductivo caracteriza las congruencias. Exhibiremos un cálculo estilo Hilbert de primer orden correcto y completo con respecto estas álgebras. Veremos que el álgebra libre de las fórmulas $For$ cocientada con una teoría maximales consistente de Henkin $\Gamma$, $For/\Gamma$ es un álgebra simple de la clase usando la noción de sistema deductivo ligado a un elemento. Esto va a permitir presentar una nueva prueba de completitud para estos sistemas lógicos.
Trabajo en conjunto con: Aldo Figallo Orellano, Universidad Nacional del Sur, Argentina.
Referencias
[1] P. Cintula and C. Noguera, A Henkin-style proof of completeness for First-order algebraizable logics, Journal of Symbolic Logic 80, 341-358, 2015
[2] A. Figallo Orellano and Juan S. Slagter, An algebraic study of the first order some implicational fragments of three-valued Lukasiewicz logic. Computación y Sistemas, 2022.
[3] Aldo Figallo-Orellano and Juan S. Slagter, Monteiro’s algebraic notion of maximal consistent theory for Tarskian logics. Fuzzy Sets and Systems, 2022.
[4] H. Rasiowa, An algebraic approach to non-classical logics, Studies in logic and the foundations of mathematics, vol. 78. North-Holland Publishing Company, Amsterdam and London, and American Elsevier Publishing Company, Inc., New York, 1974.