Sesión Análisis Real, Armónico y Teoría de AproximaciónNuevas mejores aproximaciones extendidas en espacios de Orlicz–Lorentz y propiedades de casi optimalidad
Fabian Eduardo Levis
Universidad Nacional de Río Cuarto, CONICET, FCEFQyN, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Sea \(L^0\) la clase de todas las funciones medibles de Lebesgue definidas sobre \([0,a)\), \(0<a<\infty\), con valores en la recta real extendida y finitas en casi todas partes. Para \(f \in L^0\), denotamos por \(f^*\) su reordenamiento decreciente. Sean \(\phi:[0,\infty) \to [0,\infty)\) una función convexa, continuamente diferenciable, con \(\phi(0)=0\) y \(\phi(t)>0\) para todo \(t>0\), y \(w:(0,a)\to(0,\infty)\) una función peso decreciente y continua. Para \(f\in L^0\), definimos \[\nonumber \Psi_{w,\phi}(f)=\int_0^a \phi(f^*(t))\,w(t)\,dt.\]
Denotamos por \(\Lambda_{w,\phi}\) el espacio de Orlicz–Lorentz definido por \( \Lambda_{w,\phi}:= \{f \in L^0 : \Psi_{w,\phi}(r f)<\infty \;\forall\, r>0\}\), y por \(\Lambda_{w,\phi'}\) el espacio definido de manera análoga, donde \(\phi'\) denota la derivada de \(\phi\). Dada \(S\) un subespacio de Chebyshev de dimensión finita, \(B \subseteq (0,\alpha)\) un conjunto medible Lebesgue de medida positiva y \(f\in\Lambda_{w,\phi}\), consideramos el problema de hallar \(g\in S\) tal que \[\nonumber \Psi_{w,\phi}((f-g)\chi_B)=\inf_{h\in S }\Psi_{w,\phi}((f-h)\chi_B).\] En esta charla, mostramos con argumentos similares a los usados en [1] que un tal \(g \in S\) existe. Llamamos a este \(g\) una mejor aproximación (m.a.) de \(f\) desde \(S\) sobre \(B\).
Además, presentamos una nueva caracterización de las mejores aproximaciones. Más precisamente, probamos que \(g\) es un m.a. de \(f\) desde \(S\) sobre \(B\) si y sólo si \[0 \leq \sup_{\sigma \in \mathcal{A}_{(f-g)\chi_B}} \left[ \int_{N(f-g)\cap B)} w(\sigma)\phi'(|f-g|)\mathrm{sgn}(f-g)h +\phi'_+(0) \int _{Z(f-g)\cap B}w(\sigma)\vert h\chi_B \vert \right]\quad \forall \, h \in S. \tag{1}\] donde \(\mathcal{A}_f := \left\{ \rho:(0,\alpha)\to(0,\alpha): \rho \text{ preserva la medida en } (0,\alpha), \ |f|=f^*\circ\rho,\ \text{c.t.p.} \right\}\).
En este contexto, \(\Lambda_{w,\phi}\subset \Lambda_{w,\phi'}\), por lo que la condición (1) tiene sentido incluso cuando \(f\in\Lambda_{w,\phi'}\). También, mostramos que para toda función \(f\in\Lambda_{w,\phi'}\) existe al menos un \(g \in S\) que satisface (1), al que denominamos mejor aproximación extendida (m.a.e.). Además, obtenemos diversas propiedades de las m.a.e. y demostramos que son casi óptimas en \(\Lambda_{w,\phi'}\). Más precisamente, probamos que si \(f\in\Lambda_{w,\phi'}\), entonces toda m.a.e. \(g\) satisface \[\nonumber \Psi_{w,\phi'}((f-g)\chi_B) \le C\,\inf_{h\in S}\Psi_{w,\phi'}((f-h)\chi_B),\] cuando \(\phi'_+(0)=0\). Por otra parte, cuando \(\phi'\) es una constante positiva, demostramos que las m.a.e. verifican una propiedad análoga respecto de la cuasinorma de Lorentz, esto es, \[\nonumber \|(f-g)\chi_B\|_{w,p} \le C\,\inf_{h\in S}\|(f-h)\chi_B\|_{w,p}, \qquad 0<p\le 1.\]
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Este trabajo está parcialmente subvencionado por la Universidad Nacional de Río Cuarto (PPI 18/C614-2), Universidad Nacional de La Pampa, Facultad de Ingeniería (Resol. Nro. 203/23), y Universidad Nacional de San Luis (PI UNSL 03/3026).
Trabajo en conjunto con: María Inés Gareis (Universidad Nacional de La Pampa, Facultad de Ingeniería, Argentina), Federico Dario Kovac (Universidad Nacional de La Pampa, Facultad de Ingeniería, Argentina) y Ludmila Zabala (Universidad Nacional de Río Cuarto, CONICET, FCEFQyN, Argentina).
Referencias
[1] D.E. Ferreyra, M.I. Gareis, F.E. Levis, Extended Best Polynomial Approximation Operator in Orlicz-Lorentz Spaces, Math. Nachr. 295 (2022), no. 7, 1292-1311.