Sesión Análisis Real, Armónico y Teoría de AproximaciónUna métrica multiescala de tipo Besov para medidas de probabilidad.
Luis Nowak
IITCI (CONICET-Universidad Nacional del Comahue), Departamento de Matemática (FaEA-Universidad Nacional del Comahue), Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
La comparación entre medidas de probabilidad constituye un problema central en transporte óptimo, estadística y análisis de datos. Entre las distancias más utilizadas se encuentra la distancia de Wasserstein de orden uno. Si \(\mu,\nu\in\mathcal{P}_1(\mathbb{R})\), la dualidad de Kantorovich–Rubinstein proporciona la representación \[\nonumber W_1(\mu,\nu)=\sup_{\|\varphi\|_{\mathrm{Lip}}\le1} \Bigl|\int_{\mathbb{R}} \varphi\,d(\mu-\nu)\Bigr|.\]
En dimensión uno esta expresión admite, además, una representación particularmente simple en términos de las funciones de distribución: \[\nonumber W_1(\mu,\nu)=\int_{\mathbb{R}}\bigl|F_\mu(x)-F_\nu(x)\bigr|\,dx.\]
Si escribimos \(\eta=\mu-\nu\) y \(F_\mu(x)-F_\nu(x) =F_{\eta}(x)=\eta ((-\infty, x])\), obtenemos entonces \(W_1(\mu,\nu)=\|F_{\eta}\|_{L^1(\mathbb{R})}\).
Esta identidad permite interpretar el transporte de Wasserstein como una medición del tamaño global del potencial acumulativo \(F_\eta\). Sin embargo, la norma \(L^1\) no describe cómo se distribuye la discrepancia entre \(\mu\) y \(\nu\) a través de las distintas escalas espaciales. Dos pares de distribuciones pueden presentar valores similares de \(W_1\) y, sin embargo, poseer estructuras locales u oscilatorias muy diferentes.
En esta comunicación presentamos una familia de métricas \(d_{\mathrm{RG}}^{\alpha}\), \(0<\alpha<1\), que incorpora precisamente esta información multiescala. La construcción se realiza mediante las diferencias segundas del potencial acumulativo, \[\nonumber \delta^{(2)}_t F_\eta(x)=F_\eta(x+t)-2F_\eta(x)+F_\eta(x-t),\] definiendo \[\nonumber d_{\mathrm{RG}}^{\alpha}(\mu,\nu)=\int_0^\infty t^{\alpha-2} \bigl\|\delta^{(2)}_t F_\eta\bigr\|_{L^1(\mathbb{R})}\,dt.\]
Esta expresión es equivalente a una seminorma homogénea de Besov: \(d_{\mathrm{RG}}^{\alpha}(\mu,\nu)\;\asymp\;\|F_\eta\|_{\dot{B}^{1-\alpha}_{1,1}(\mathbb{R})}\).
Mientras \(W_1\) mide solamente el tamaño \(L^1\) del potencial acumulativo, \(d_{\mathrm{RG}}^{\alpha}\) mide además su regularidad a través de todas las escalas. El peso \(t^{\alpha-2}\) determina la importancia relativa asignada a cada una de ellas.
La conexión con Kantorovich–Rubinstein permite obtener una interpretación natural. La fórmula clásica expresa \(W_1\) como una métrica integral de probabilidad generada por funciones Lipschitz. Para \(0<\alpha<1\), en la métrica multiescala aparecen espacios de regularidad de tipo Hölder-\(\alpha\): en la recta, \(d_{\mathrm{RG}}^{\alpha}\) resulta equivalente a la métrica de Zolotarev \(\zeta_\alpha\), la métrica integral de probabilidad generada por la bola unidad del espacio de Hölder homogéneo \(\dot{C}^{\alpha}\).
El objeto dual, por lo tanto, no es nuevo. Lo que desarrollamos es su representación primal a través del potencial acumulativo, y las consecuencias que de ella se desprenden. A diferencia de un supremo sobre funciones test, la forma primal es una integral de valores absolutos de funcionales lineales, y esa estructura es la que permite descomponerla por rebanadas afines, discretizarla sobre un árbol diádico y leer la discrepancia escala por escala.
Esta estructura aparece también como una interpolación entre dos cantidades clásicas. En efecto, con \[\nonumber \|F_\eta\|_{L^1}=W_1(\mu,\nu),\qquad \mathrm{TV}(F_\eta)=\|\mu-\nu\|_{\mathrm{TV}}:=|\mu-\nu|(\mathbb{R}),\] se tiene la desigualdad \[\nonumber d_{\mathrm{RG}}^{\alpha}(\mu,\nu)\;\le\;\frac{2^{1+\alpha}}{\alpha(1-\alpha)}\, W_1(\mu,\nu)^{\alpha}\,\|\mu-\nu\|_{\mathrm{TV}}^{1-\alpha}.\]
La constante es óptima: la desigualdad se alcanza con igualdad, para todo \(r>0\), en los pares de Diracs \(\eta_r=\delta_0-\delta_r\), donde \(d_{\mathrm{RG}}^{\alpha}=4r^{\alpha}/(\alpha(1-\alpha))\) y \(W_1=r\). El parámetro \(\alpha\) actúa así como parámetro de interpolación: valores próximos a \(1\) sitúan la métrica en un régimen dominado por el transporte, mientras que valores menores aumentan la sensibilidad a discrepancias presentes en escalas finas.
Trabajo en conjunto con: Hugo Aimar (IMAL-CONICET-UNL, Argentina) y Diego Tomassi (Biofortis SAS, Francia).
Referencias
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