Sesión Ecuaciones Diferenciales y AplicacionesControl óptimo en un modelo epidemiológico de tipo SIR con aislamiento y vacunación
Mariana Inés PRIETO
Universidad Nacional del Sur, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
En esta charla presentaremos un problema de control óptimo motivado por la gestión de una epidemia en un escenario donde se dispone simultáneamente de dos tipos de intervenciones: el aislamiento, representado por un número de reproducción variable en el tiempo \(\sigma(t) \in [\sigma_s, \sigma_f]\) que puede ajustarse entre un estado de cuarentena estricta \(\sigma_s\) y uno de ausencia de restricciones \(\sigma_f\); y la vacunación \(v(t) \in [0, v_M]\) aplicada sobre la población susceptible. Siguiendo el modelo compartimental clásico introducido por Kermack y McKendrick [1], la dinámica de susceptibles \(x(t)\) e infectados \(y(t)\) está dada por el sistema \[\begin{aligned} x'(t) & = -\gamma \, \sigma(t) \, x(t)\, y(t) - v(t)\, x(t), \\ y'(t) & = \gamma \, \sigma(t) \, x(t)\, y(t) - \gamma \, y(t),\end{aligned}\] con condiciones iniciales dadas, \((x(t), y(t)) \in D = \{(x,y) : x>0,\ y>0,\ x+y\le 1\}\) y \(\gamma >0\).
El objetivo es hallar los controles \(\sigma\) y \(v\) que minimicen el funcional \[\begin{aligned} J(x,y,\sigma,v) := \int_{0}^{T} c_y y(t) \, dt + \int_{0}^{T} c_v v(t) \, dt + \int_{0}^{T} c_{\sigma} (\sigma_{f} - \sigma(t)) \, dt,\end{aligned}\] donde los términos ponderan, respectivamente, la carga de la enfermedad, el costo de vacunar y el costo asociado a mantener restricciones activas, con \(c_y, c_v, c_\sigma > 0\) constantes de ponderación. Este problema extiende trabajos previos centrados exclusivamente en estrategias de aislamiento sin vacunación disponible, como el de Balderrama et al. [3], incorporando el esfuerzo de vacunación como control adicional.
Aplicamos el Principio del Máximo de Pontryagin, apoyándonos en resultados de existencia de control óptimo como los de Clarke [2], para caracterizar los controles óptimos. Discutiremos la existencia de solución, la normalidad del problema, y las propiedades cualitativas de las variables adjuntas que permiten describir la estructura de tipo bang-bang de los controles óptimos \(\sigma^*\) y \(v^*\). Finalmente, comentaremos los resultados obtenidos y algunas de las dificultades que surgen al estudiar la cantidad de cambios de los controles óptimos a lo largo del intervalo de intervención y la caracterización de los tiempos en los que se producen dichos cambios.
Trabajo en conjunto con: Rocío C. Balderrama (Universidad de Buenos Aires, Argentina) y Constanza M. Sánchez Fernández de la Vega (Universidad de Buenos Aires, Argentina).
Referencias
[1] W. O. Kermack, A. G. McKendrick, A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics, Proceedings of the Royal Society of London. Series A, 115(772), 700–721, 1927.
[2] F. H. Clarke, Functional Analysis, Calculus of Variations and Optimal Control, Graduate Texts in Mathematics 264, Springer, 2013.
[3] R. Balderrama, J. Peressutti, J. P. Pinasco, C. S ́anchez de la Vega, F. Vazquez, Optimal control for a SIR epidemic model with limited quarantine, Scientific Reports, 12, 2022.