Sesión Geometría, Topología y Teoría de LieIsoespectralidad en espacios localmente simétricos cubiertos por \(SU(3)/SO(3)\)
Miguel Reyes
Universidad Nacional de Salta, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Estudiamos la geometría espectral de las variedades localmente simétricas compactas cubiertas por \[M=SU(3)/SO(3),\] equipado con la métrica inducida por la forma de Killing. La clasificación de Wolf muestra que estos espacios son cocientes \(\Gamma\backslash M\) por grupos cíclicos finitos, que pueden parametrizarse mediante ternas \((1,k,n-k-1)\) con \(n\) impar, sujetas a una relación explícita de equivalencia isométrica [1],[2]. El problema central consiste en determinar hasta qué punto el espectro del operador de Laplace–Beltrami distingue dichas clases de isometría.
La descomposición de Peter–Weyl y la teoría de representaciones esféricas del par \((SU(3),SO(3))\) reducen el espectro a las representaciones \(H_{2p,2q}\). En la normalización considerada, el valor del Casimir en \(H_{p,q}\) es \[\lambda_{p,q}=\frac{p^2+q^2+pq+3p+3q}{9}.\] La posible coincidencia entre distintos pares \((p,q)\) constituye uno de los principales obstáculos para leer directamente las multiplicidades espectrales. Nos concentramos por ello en posiciones diagonales \(p=q=m\) para las cuales el valor del Casimir es único. En este punto utilizamos aritmética de los enteros de Eisenstein, con lo cual obtenemos una caracterización exacta para el nivel diagonal \(\lambda_{m,m}\).
Para calcular la multiplicidad correspondiente introducimos el retículo de congruencia \[\Lambda_{n,k}=\{c\in\mathbb Z^3:c_1+c_2+c_3=0,\ c_1+kc_2-(k+1)c_3\equiv0\pmod n\},\] y la norma hexagonal \[\nu(c)=\frac12\bigl(|c_1|+|c_2|+|c_3|\bigr).\] Si \(a_{n,k}(h)\) denota el número de puntos de \(\Lambda_{n,k}\) con \(\nu(c)=h\), demostramos que \[\dim H_{m,m}^{\Gamma_{n,k}} =\sum_{h=0}^{m}(m-h+1)a_{n,k}(h).\] Esto último nos permite representar el problema en téminos de funciones generatrices tomando como referencia el trabajo de Lauret, Miotello y Rossetti [3],[4] . Cabe mencinoar que este trabajo fue abordado, también de manera computacional, lo cual permitió establecer criterios para evaluar numéricamente cuando dos variedades localmente simétricas \(\Gamma_{n,k}\backslash M\) y \(\Gamma_{n,k'}\backslash M\) son isoespectrales y no isométricas.
Trabajo en conjunto con: EMILIO A. LAURET (Instituto de Matemática (INMABB), Departamento de Matemática, Universidad Nacional del Sur (UNS)-CONICET, Bahía Blanca, Argentina.) y JOSÉ I. GARCÍA ( CIUNSa, Fac. Cs. Exactas- Universidad Nacional de Salta, Salta, Argentina.).
Referencias
[1] J. Wolf. Spaces of constant curvature. 6th ed. Providence, RI: AMS Chelsea Publishing, 2011.
[2] Miguel A. Reyes. Isospectralidad entre espacios localmente simétricos cubiertos por SU (3)/SO(3). Trabajo Final de Grado, Universidad Nacional de Salta. Director: Emilio A. Lauret; Codirector: José I. García. 2026.
[3] E.A. Lauret, R.J. Miatello, J.P. Rossetti. Recent results on the spec tra of lens spaces. Sao Paulo J. Math. Sci. 15:1 (2021), 240 267. DOI: 10.1007/s40863-019-00154-3.
[4] E.A. Lauret, R.J. Miatello, J.P. Rossetti. Spectra of lens spaces from 1-norm spectra of congruence lattices. Int. Math. Res. Not. IMRN 2016:4 (2016), 1054 1089. DOI: 10.1093/imrn/rnv159