Sesión Geometría Algebraica, Teoría de Números y AplicacionesNullstellensatz Efectivo: ¿un solo culpable?
Nicolás Allo Gómez
Universidad de Buenos Aires $\&$ Universidad Torcuato Di Tella, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
El Nullstellensatz (NSS) de Hilbert (1893) es un resultado crucial de la Geometría Algebraica y permite dar respuesta a la siguiente pregunta: dados polinomios \(f_1,\dots,f_s \in \mathbb{K}[\underline{X}]:=\mathbb{K}[X_1,\dots,X_n]\) con coeficientes en un cuerpo \(\mathbb{K}\), ¿cuándo su conjunto de ceros comunes en \(\overline{\mathbb{K}}^n\) (aquí \(\overline{\mathbb{K}}\) es alguna clausura algebraica de \(\mathbb{K}\)) es vacío? La respuesta a este problema geométrico se obtiene vía un problema algebraico. El NSS establece que \(f_1,\dots,f_s\) no tienen ceros comunes en \(\overline{\mathbb{K}}^n\) si y solo si existen \(g_1,\dots,g_s \in \mathbb{K}[\underline{X}]\) tales que \(1 = \sum_{i=1}^s g_i f_i\).
Desde el punto de vista efectivo, un enfoque posible y muy estudiado, que se remonta a [4], consiste en dar cotas superiores para los grados de los \(g_i\) en términos de los grados \(d_i = \deg(f_i)\) y de la cantidad de indeterminadas \(n\), ya que esto reduce el problema a uno sencillo de Álgebra Lineal. Los trabajos de [1], [2], [5] y [3], entre otros, acotan los grados de los \(g_i\) por una cantidad del orden de \(d^n\), donde \(d\) es el máximo de los grados de los \(f_i\). Además, el ejemplo de Brownawell–Masser–Philippon (BMP [1]) muestra que ese orden exponencial es esencialmente óptimo. Sin embargo, si los \(f_i\) no tienen ceros en el infinito, los grados quedan acotados por una cantidad lineal en los \(d_i\) (cf. [6]).
Sin suponer nada a priori sobre el comportamiento proyectivo, nos preguntamos si es posible “aislar” el mal comportamiento de los grados. Más precisamente, ¿es posible obtener una identidad de Bézout para el \(1\) mediante el uso de variables adicionales y formas lineales adecuadas, con grados controlados para cada variable, de modo que el comportamiento exponencial del tipo Bézout quede confinado a las variables nuevas?
En esta charla respondemos afirmativamente en algunos casos. Uno de ellos es el de \(n\) polinomios en \(n\) variables que son una intersección completa en \(\mathbb{P}^n\) (esta situación incluye al ejemplo de BMP). Otro es el de \(n+1\) polinomios, también en \(n\) variables, con conjunto de ceros proyectivos finito y no vacío, que se generaliza sin dificultad al caso de \(s > n\) polinomios.
Trabajo en conjunto con: Teresa Krick (Departamento de Matemática $\&$ IMAS-Conicet, Universidad de Buenos Aires, Argentina) y Matías Bender (Inria $\&$ CMAP, CNRS, École Polytechnique, Institut polytechnique de Paris, Palaiseau, France)..
Referencias
[1] Brownawell, W. D. Bounds for the degrees in the Nullstellensatz, Ann. of Math. 126 (1987), 577--591.
[2] Caniglia, L.; Galligo, A.; Heintz, J. Borne simple exponentielle pour les degrés dans le théorème des zéros sur un corps de caractéristique quelconque, C. R. Acad. Sci. Paris 307 (1988), 255--258.
[3] Fitchas, N.; Galligo, A. Nullstellensatz effectif et conjecture de Serre (théorème de Quillen--Suslin) pour le calcul formel, Math. Nachr. 149 (1990), 231--253.
[4] Hermann, G. Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale, Math. Ann. 95 (1926), no. 1, 736--788.
[5] Kollár, J. Sharp effective Nullstellensatz, J. Amer. Math. Soc. 1 (1988), 963--975.
[6] Lazard, D. Algèbre linéaire sur $K[X_1,\dots,X_n]$ et élimination, Bull. Soc. Math. France 105 (1977), 165--190.