Sesión Análisis Real, Armónico y Teoría de AproximaciónOperadores Maximales de Mejores Aproximantes Polinomiales
Rosa Alejandra Lorenzo
Departamento de Matemática-Instituto de Matemática Aplicada San Luis (IMASL)-Universidad Nacional de San Luis, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Sea \(\Phi\) la clase de todas las \(N\)-funciones \(\varphi: [0,\infty)\rightarrow [0,\infty)\). Sea \(\Omega\) un subconjunto medible y acotado de \(\mathbb{R}^{n}\). Para cada \(\varphi\in\Phi\), definimos el espacio de las funciones medibles Lebesgue \(f\) definidas sobre \(\Omega.\)
\[L^{\varphi}(\Omega)=\{ f \mbox{medibles}: \int_{\Omega}\varphi(\lambda|f(x)|)dx<\infty, \mbox{para algún}\;\lambda>0\},\] donde \(dx\) es la medida de Lebesgue sobre \(\mathbb{R}^{n}.\)
Dada una función \(f \in L^{\varphi}(\Omega)\), definimos como \(\mu_{\varphi}(f)\), el conjunto de mejores aproximantes por polinomios a la función \(f\). Es decir, un polinomio \(P\) es un mejor aproximante de \(f\) si y sólo si, se cumple
\[\int_{\Omega}\varphi(|f(x)-P|)dx=\inf_{Q\in\Pi^{m}}\int_{\Omega}\varphi(|f(x)-Q|)dx,\] donde \(\Pi^{m}\) es el espacio de los polinomios algebraicos, definidos sobre \(\mathbb{R}^{n}\) de grado a lo sumo \(m\) y tal que \(\Pi^{m}\subset L^{\varphi}(\Omega).\)
En este trabajo obtenemos una extensión del trabajo de [1] al considerar funciones \(\varphi\) sin condiciones de suavidad como las siguientes desigualdades
\[\psi^{+}\left(\frac{a^{*}_{0}(f)}{C}\right)\leqslant KM\psi^{+}(|f|)(x)\] donde \(M\) es la función maximal de Hardy-Littlewood y \(f\in L^{\psi^{+}}_{loc}(\mathbb{R}^{n})\) posee una condición de suavidad puntual introducida por Calderón y Zygmund en 1961 \(f\in t_{m}^{\psi^{+}}(x)\) en un punto fijo \(x\) para \(1\leqslant|\alpha|\leqslant m\), la función maximal \(a^{*}_{\alpha}(f)(x)=\sup_{\epsilon>0}|a_{\alpha}(x,\epsilon)|\) para \(0\leqslant|\alpha|\leqslant m\) y \(\psi^{+}\) denota la deriva por derecha de la función \(\varphi.\)
Si además, suponemos que \(f\in L_{loc}^{\psi^{+}}(\mathbb R^{n})\) y \(f\in t_{m}^{\psi^{+}}(x)\) en un punto fijo \(x\) para \(1\leqslant|\alpha|\leqslant m.\) Supongamos \(\delta>0\) y \(|\alpha|=l\) entonces,
Si \(\psi^{+}\) es una función monótona cuasiconvexa, entonces existen funciones continuas \(g_{1}^{\delta}, g_{2}^{\delta}: (0,\infty)\rightarrow (0,\infty)\) tales que \[g_{2}^{\delta}\Bigg(\frac{a_{\alpha}^{\ast}(f)(x)}{C}\Bigg)\leqslant\bar{K}\sum_{|\alpha|=l}Mg_{1}^{\delta}(|\partial^{\alpha}f|)(x),\] para \(\partial^{\alpha}f\in L_{loc}^{(I+\delta)}\cap L_{loc}^{(i-\delta)}(\mathbb R^{n})\) y donde \(C,\) \(\bar{K}\) son constantes positivas que dependen de \(n,\) \(m\) y \(\psi^{+}.\)
Trabajo en conjunto con: Sergio Favier (Departamento de Matemática-Instituto de Matemática Aplicada San Luis-Conicet-UNSL) y Sonia Acinas (Universidad Nacional de La Pampa).
Referencias
[1] S. Acinas, S. Favier, F.Zó, Inequalities for extended best polinomial approximation operator in Orlicz Spaces.Acta Mathematica Sinica, 35: 185-203, 2019.