Sesión Análisis Real, Armónico y Teoría de AproximaciónEl operador logarítmico de Schrödinger
Estefanía Dafne Dalmasso
IMAL (CONICET-UNL) - FIQ (UNL), Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
El operador logarítmico \(\log(-\Delta)\) ha recibido considerable atención en los últimos años ([1]), en conexión con el laplaciano fraccionario \((-\Delta)^s\), \(0<s<1\), a través de la relación \(\log(-\Delta) = \partial_s(-\Delta)^s|_{s=0}\). Este es un operador no local que surge naturalmente como límite entre la teoría local, asociada a \(-\Delta\), y la no local, asociada a \((-\Delta)^s\). Su estudio se ha extendido recientemente a variedades riemannianas ([2]) y a grafos generales ([3]).
En esta charla consideraremos el operador logarítmico de Schrödinger \(\log \mathcal{L}_V\), asociado al operador \(\mathcal{L}_V = -\Delta + V\) en \(\mathbb{R}^d\), con un potencial \(V \geq 0\) y \(V \not\equiv 0\). El operador \(\log \mathcal{L}_V\) se define mediante cálculo funcional a partir de la medida espectral de \(\mathcal{L}_V\), y admite también una caracterización alternativa como la derivada en \(s=0\) de la potencia fraccionaria \(\mathcal{L}_V^s\).
Extenderemos los resultados del caso clásico ([4]) al caso Schrödinger con potenciales \(V\) que satisfacen una desigualdad reverse-Hölder de exponente \(q > d/2\). Mostraremos que el semigrupo del calor \(\{T_t^V\}_{t>0}\) generado por \(\mathcal{L}_V\), a diferencia del semigrupo clásico, no es markoviano, lo cual produce diferencias sustanciales respecto del caso euclídeo. En particular, obtendremos una representación puntual de \(\log \mathcal{L}_V\) en la que, junto a los términos usuales de tipo derivada e integral fraccionaria, aparece un término no constante que depende de la función de radio crítico \(\rho\) asociada al potencial \(V\). Como aplicación, resolveremos el problema de valores iniciales \(\partial_t u = -(\log \mathcal{L}_V)u\), \(u(x,0)=f(x)\), para \(f\) en un espacio Lipschitz adaptado al marco de Schrödinger, en términos de la integral fraccionaria asociada a \(\mathcal{L}_V\).
Trabajo en conjunto con: Jorge J. Betancor (Universidad de La Laguna, España), Juan Carlos Fariña (Universidad de La Laguna, España) y Pablo Quijano (IMAL (CONICET-UNL) - FIQ (UNL), Argentina).
Referencias
[1] H. Chen, T. Weth, The Dirichlet problem for the logarithmic Laplacian, Comm. Partial Differential Equations 44 (2019), no. 11, 1100--1139.
[2] R. Chen, Logarithmic Laplacian on General Riemannian Manifolds, arXiv:2506.19311 (2025).
[3] R. Chen, W. Xu, The Logarithmic Laplacian on General Graphs, arXiv:2507.05936 (2025).
[4] P. A. Feulefack, The logarithmic Schrödinger operator and associated Dirichlet problems, J. Math. Anal. Appl. 517 (2023), no. 2, Paper No. 126656, 33 pp.