Sesión Geometría Algebraica, Teoría de Números y AplicacionesConjuntos co-Sidon en Grupos Finitos
Edward Felipe Fernández Luna
UNIVERSIDAD DEL CAUCA, Colombia - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
\begin{abstract}
Los conjuntos de Sidon y sus generalizaciones constituyen un objeto central en la teoría de números aditiva. En esta ponencia se estudiarán pares co-Sidon, definidos por la unicidad de representación en el conjunto suma \(A+B\), así como los problemas de cardinalidad. A partir de construcciones clásicas de conjuntos \(B_2\), se analizarán propiedades estructurales y cotas combinatorias para pares co-Sidon contenidos en intervalos enteros. Además, se introducirá la noción de pares co-Sidon en grupos abelianos y se estudiarán propiedades algebraicas del conjunto suma.
\end{abstract}
\keywords{Conjunto de Sidon, Par co-Sidon, Grupo abeliano}
Los conjuntos de Sidon deben su nombre a S. Sidon, quien los introdujo en el estudio de problemas relacionados con series de Fourier.
\begin{definition}\label{defSidon}
Sea \(A=\{a_1,a_2,\ldots,a_m\}\), con \( a_1 \lt a_2 \lt \cdots \lt a_m, \) un conjunto de enteros no negativos. Diremos que \(A\) es un \textit{conjunto de Sidon} o un \textit{conjunto \(B_2\)} si todas las sumas \( a_i+a_j, \qquad 1\leq i\leq j\leq m, \) son distintas. \end{definition}
La notación \(B_2\) se generaliza naturalmente a conjuntos \(B_h\), con \(h \gt 2\), donde todas las sumas de \(h\) elementos son diferentes.
Uno de los principales problemas en el estudio de estos conjuntos consiste en determinar el máximo cardinal de un conjunto de Sidon contenido en el intervalo \( [1,n]=\{1,2,\ldots,n\}.\)
Una generalización natural de los conjuntos de Sidon se obtiene al considerar dos conjuntos \(A\) y \(B\), y exigir que todas las sumas \(a+b\), con \(a\in A\) y \(b\in B\), sean distintas. Para formalizar esta idea introducimos las siguientes definiciones.
\begin{definition}\label{DefFuncionRepresentacion} La \textbf{función representación} para dos conjuntos \( A,B\subseteq \mathbb{Z^+} \) está dada por \[ R_{A+B}(n)=|(a,b)\in A\times B:\ a+b=n|. \] \end{definition}
\begin{definition}\label{defcosidon} Dos conjuntos \(A,B\subseteq \mathbb{Z^+}\) se llaman \textit{co-Sidon} si \( R_{A+B}(n)\leq 1 \) para todo \(n\in \mathbb{Z^+}\). \end{definition}
Equivalentemente, \((A,B)\) es un par co-Sidon si cada elemento de \(A+B\) posee una única representación como suma de un elemento de \(A\) y un elemento de \(B\).
Los pares co-Sidon fueron estudiados en \cite{fabricioBenevides2009} y \cite{dubickas20131144}, donde se demuestra el siguiente resultado.
\begin{theorem} Si \(A,B\subseteq \{0,1,\ldots,n\}\) son co-Sidon, entonces \[ \min\{|A|,|B|\}\leq \lfloor \sqrt{2n}\rfloor. \] Además, la igualdad se alcanza para infinitos valores de \(n\). \end{theorem}
Dado un conjunto \(A\subseteq \mathbb{Z^+}\), resulta natural preguntarse por la existencia de subconjuntos \(B\subseteq \mathbb{Z^+}\) con máxima cardinalidad y que cumpla con la propiedad de ser co-Sidon.
%\begin{definition}\label{DefCosidonmaximal} %Sean \(A,B\subseteq \mathbb{Z^+}\) subconjuntos no vacíos tales que \((A,B)\) es un par co-Sidon. Diremos que \(B\) es \textit{\(A\)-maximal} si para todo subconjunto \(C\subseteq \mathbb{Z^+}\) tal que \( B\subseteq C \) y \((A,C)\) es un par co-Sidon, se tiene necesariamente \( B=C. \) %\end{definition}
En esta ponencia estudiaremos la relación entre pares co-Sidon y propiedades de cardinalidad. En particular, utilizaremos construcciones conocidas de conjuntos \(B_2\) para obtener pares co-Sidon contenidos en intervalos enteros. %y analizar la estructura de conjuntos \(A\)-maximales. Además, dado que se han considerado generalizaciones de estos problemas a estructuras algebraicas más generales, estudiaremos pares co-Sidon en grupos abelianos.
\begin{definition} Sea \(G\) un grupo abeliano escrito aditivamente y sean \(A,B\subseteq G\). Diremos que \((A,B)\) es un par \textit{co-Sidon} en \(G\) si para cualesquiera \( a_1,a_2\in A, \quad b_1,b_2\in B, \) la igualdad \( a_1+b_1=a_2+b_2 \) implica \( a_1=a_2 \quad \text{y} \quad b_1=b_2. \) \end{definition}
Observe que esta definición preserva la idea fundamental de los pares co-Sidon en \(\mathbb{Z^+}\): cada elemento del conjunto suma \(A+B\) posee una única representación como suma de un elemento de \(A\) y un elemento de \(B\).
A partir de esta generalización surgen naturalmente las siguientes preguntas, ¿se pueden caracterizar los subconjuntos \(B\subseteq G\) tales que \((A,B)\) forme un par co-Sidon en un grupo abeliano \(G\)? o también, ¿existen condiciones, propiedades estructurales o cotas para subconjuntos en grupos abelianos finitos?
Como un primer acercamiento a estos problemas, se obtienen propiedades elementales de los pares co-Sidon en grupos abelianos. En particular, si \((A,B)\) es co-Sidon en un grupo abeliano finito \(G\), entonces: \begin{itemize} \item la aplicación suma \( \varphi:A\times B\to G, \qquad \varphi(a,b)=a+b, \) es inyectiva;
\item se cumple \( |A+B|=|A||B|; \)
\item si \(|G|=n\), entonces \(|A||B|\leq |G|,\) y por tanto \( |B|\leq \left\lfloor \frac{|G|}{|A|}\right\rfloor; \)
\item la propiedad co-Sidon es invariante bajo traslaciones;
\item y si \(|A||B|=|G|, \) entonces necesariamente \( A+B=G.\) \end{itemize}
Estas propiedades permiten relacionar problemas de maximalidad con propiedades combinatorias y algebraicas del conjunto suma \(A+B\). Finalmente, se presentarán resultados elementales sobre pares co-Sidon en grupos abelianos finitos, incluyendo propiedades del conjunto suma, cotas para cardinalidades y condiciones algebraicas derivadas de la unicidad de representación. Con ello, la ponencia busca mostrar cómo herramientas clásicas de teoría aditiva permiten formular y extender problemas combinatorios naturales al contexto de grupos abelianos.
\end{document}
Trabajo en conjunto con: Carlos Andrés Martos Ojeda (I. E. La Pamba).
Referencias
[1] Additive properties of a pair of sequences.
[2] Finding large co-Sidon subsets in sets with a given additive energy.
[3] On a Problem of Sidon in Additive Number Theory and On Some Related Problems