Sesión Análisis Real, Armónico y Teoría de AproximaciónAcotación de operadores bilineales fraccionarios inducidos por hipermétricas en espacios de Ahlfors regulares
Joaquín Toledo
IMAL, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Los operadores del Análisis Armónico tienen su origen en el potencial de Newton y sus extensiones a dimensiones mayores que tres \(N(x,y)=\displaystyle \frac{1}{|x-y|^{n-2}}\) con \(x, y \in \mathbb{R}^n\). El núcleo \(N\) genera operadores lineales de integración fraccionaria y sus derivadas segundas las integrales singulares de Calderón- Zygmund. El gradiente del núcleo \(N\) clásico es el campo de fuerzas gravitatorio en la teoría de Newton. Por otra parte \(|x-y|\), la distancia entre \(x\) e \(y\), dos puntos de \(\mathbb{R}^3\), puede verse como la distancia del punto \((x,y) \in \mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3\) a la diagonal de \(\mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3\). Esta forma de pensar el núcleo \(N\) como una potencia negativa de la distancia de un punto \((x,y) \in \mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3\) a la diagonal \(\bigtriangleup=\{(x,x): x \in \mathbb{R}^3\}\) admite una generalización razonable a órdenes superiores a \(2\). Tomando la diagonal en \((\mathbb{R}^3)^{k+1}\) con \(k\geq 1\) y calculando la distancia de un punto de \((\mathbb{R}^3)^{k+1}\) a esa diagonal obtenemos funciones de \(k+1\) variables \(\rho(x_0,\ldots,x_k)\).
A partir de la observación del rol de la métrica Euclídea en la construcción de los potenciales \(N\) y de la importancia de considerar interacciones de orden superior a dos, introducimos hipermétricas \(\rho(x_0, x_1, \ldots, x_k)\) con \(k\geq 2\), que producen núcleos del tipo \(\rho(x_0, x_1, \ldots, x_k)^{-\gamma}\quad (\gamma>0)\) asociados a operadores multilineales en espacios de tipo homogéneo. En este trabajo probaremos el siguiente resultado de acotación para operadores bilineales fraccionarios inducidos por hipermétricas de orden \(3\) en espacios \(\eta\)-Ahlfors regulares.
Teorema: Sea \((X,d, \mu)\) un espacio \(\eta\)-Ahlfors regular, con \(\eta>0\). Sea \(\rho\) la hipermétrica de orden 3 generada por \(d\). Sean \(p_1>1\), \(p_2>1\), \(q\) y \(0<\gamma<2\eta\) tales que \(0<\frac{1}{q}=\frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2}-\frac{2\eta-\gamma}{\eta}\). Entonces el operador \[T^{\gamma}(f,g)(x)=\int_{y\in \mathbb{R}^n}\int_{z\in \mathbb{R}^n}\frac{f(y)g(z)}{\rho(x,y,z)^{\gamma}}d\mu(y)d\mu(z)\] es acotado de \(L^{p_1}(X,\mu)\times L^{p_2}(X,\mu)\) en \(L^{q}(X,\mu)\). Más aún, \[\|T^{\gamma}(f,g)\|_{q}\leq C \|f\|_{p_1} \|g\|_{p_2},\] para \(f\geq 0\), \(g\geq 0\).
Trabajo en conjunto con: Hugo Aimar (IMAL) y Ivana Gómez (IMAL).
Referencias
[1] Hugo Aimar, Ivana Gómez, Joaquín Toledo. Multilinear approximate identities generated by hypermetrics on spaces of homogeneous type. Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 540, 2026.
[2] J. García-Cuerva y A. E. Gatto. Boundedness properties of fractional integral operators associated to non-doubling measures. Studia Mathematica, vol. 162, no. 3, págs. 245-261, 2004.
[3] L. Grafakos. Modern Fourier Analysis. Graduate Texts in Mathematics. Springer New York, 2014.
[4] L. Grafakos. On multilinear fractional integrals. Studia Mathematica, vol. 102, no. 1, págs. 49-56, 1992.
[5] C. Kenig y E. Stein. Multilinear estimates and fractional integration. Mathematical Research Letters, vol. 6, no. 1, págs. 1-15, 1999.
[6] E. Stein. Singular integrals and differentiability properties of functions. Princeton University Press, 1970.