Sesión Análisis Real, Armónico y Teoría de AproximaciónUn principio de incertidumbre tipo Hardy para el espectro del grupo de Heisenberg bajo la acción del grupo unitario indefinido
Isolda Cardoso
UNR - FCEIA - ECEN -DM, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
El principio de incertidumbre de Hardy clásico establece que una función y su transformada de Fourier no pueden decaer simultáneamente más rápido que gaussianas cuyo producto de parámetros supere el valor \(1/4\), salvo que la función sea idénticamente nula. Este resultado se ha extendido a diversos grupos de Lie, en particular al grupo de Heisenberg , donde Thangavelu obtuvo una versión en términos de la transformada esférica asociada al par de Gelfand \((\mathbb{H}_n,U(n))\) (ver por ejemplo [1]). En este trabajo consideramos el par de Gelfand generalizado \((\mathbb{H}_n,U(p,q))\), donde el grupo unitario indefinido \(U(p,q)\) actúa sobre el grupo de Heisenberg por automorfismos que preservan una forma hermitiana con signatura \((p,q)\). A diferencia del caso compacto, esta acción da lugar, según la teoría desarrollada por Godoy y Saal en [2, 3, 4], a una familia de autodistribuciones conjuntas \(S_{\lambda,k} \in \mathbb{R}^\ast \times \mathbb{Z}\), que describe la descomposición espectral de \(L^2(\mathbb{H}_n)\). Presentamos un principio de incertidumbre tipo Hardy en este contexto: si una función de Schwartz \(U(p,q)\)-invariante \(f\) decae gaussianamente en la variable de grupo con parámetro \(a\), y su transformada esférica decae con parámetro \(b\) respecto de una cierta función de peso \(\phi(k)\) , entonces la condición \(ab>1/4\) fuerza que \(f\equiv 0\).
Referencias
[1] S. Thangavelu, "An Introduction to the Uncertainty Principle: Hardy's Theorem on Lie Groups", Progr. Math. 217, Birkhäuser, 2004.
[2] T. Godoy, L. Saal, " L2 spectral decomposition on the Heisenberg group associated to the action of U(p,q)", Pacific J. Math. 193, No. 2, 327–353 (2000).
[3] T. Godoy, L. Saal, "Some spectral results on L2(Hn) related to the action of U(p,q)", Colloq. Math. 86, No. 2, 177–187 (2000).
[4] T. Godoy, L. Saal, "On the spectrum of the generalized Gelfand pair (U(p,q),Hn) , p+q=n", Math. Scand. 105, No. 2, 171–187 (2009).