Sesión Análisis Funcional y ComplejoDistancia a flujos de mayorización de densidades en \(\ell_1\)
Mariano Ruiz
Centro de Matemática de La Plata - UNLP, Argentina - Esta dirección de correo electrónico está siendo protegida contra los robots de spam. Necesita tener JavaScript habilitado para poder verlo.
Consideremos dos densidades \(\rho=(\rho_i)_{i\in\mathbb N}\) y \(\sigma=(\sigma_i)_{i\in\mathbb N}\) en \(\ell_1\), es decir, \(\rho_i,\sigma_i\geq 0\) y \[\sum_{i\geq 1}\rho_i=\sum_{i\geq 1}\sigma_i=1.\] En analogía con el caso vectorial, podemos definir una noción de mayorización en el espacio de densidades \(\mathcal{D}\): dadas \(\rho, \sigma \in \mathcal{D}\), decimos que \(\sigma\) mayoriza a \(\rho\), y notamos \(\rho\prec\sigma\), si \[\sum_{i=1}^k\rho^\downarrow _i\leq\sum_{i=1}^k\sigma^\downarrow_i,\qquad k\in\mathbb N,\] Donde la notación \(\lambda^\downarrow\) indica la sucesión \(\lambda \in \mathcal{D}\) reordenada en forma decreciente.
En este contexto, definimos los flujos de mayorización descendente y ascendente, respectivamente, por \[\mathcal{L}(\sigma)=\{\mu\in\mathcal{D}:\mu\prec\sigma\} \quad\text{y}\quad \mathcal{U}(\rho)=\{\nu\in\mathcal{D}:\rho\prec\nu\}.\]
Supongamos que \(\rho\) y \(\sigma\) son incomparables respecto de la mayorización, es decir, \(\rho\not\prec\sigma\). Dada una norma unitariamente invariante estrictamente convexa \(N(\cdot)\), estudiamos la distancia de estas densidades a los respectivos flujos de mayorización y caracterizamos sus posibles aproximantes. En particular, consideramos los valores mínimos que toman las funciones \[\Phi_N(\mu)=N(\rho-\mu),\qquad \mu\in\mathcal{L}(\sigma),\] y \[\Psi_N(\nu)=N(\sigma-\nu),\qquad \nu\in\mathcal{U}(\rho).\]
En esta charla abordaremos el problema del cálculo del valor mínimo de \(\Phi_N\), cuando la \(N(\cdot)\) considerada es una norma \(p\) de Schatten, con \(1<p<\infty\). Esto complementa el estudio iniciado para la norma traza presentado previamente. Asimismo, discutiremos el problema de aproximar \(\sigma\) por elementos de \(\mathcal{U}(\rho)\), mostrando que, a diferencia del caso del flujo descendente, este problema presenta características adicionales que impiden una analogía directa entre ambos escenarios.
Trabajo en conjunto con: María José Benac (FCEyT-UNSE, Santiago del Estero, Argentina), Pedro Massey (IAM-Conicet y Universidad Nacional de La Plata, Argentina) y Noelia Rios, (IAM-Conicet y Universidad Nacional de La Plata, Argentina).